3.1. Аппроксимация степенным полиномом.

Общее выражение степенного полинома имеет вид:

(3.5)

Для аппроксимации необходимо:

1. Выбрать степень полинома К. Степень определяет число точек на ВАХ – (К+1) по которым находят коэффициенты а_i. Чем выше степень полинома, тем точнее аппроксимация. Пропорционально возрастает сложность решения, т.к. определение (К+1) коэффициента а_i требует составления (К+1) уравнения. Поэтому при выборе степени полинома всегда решается компромисс между необходимой точностью аппроксимации и приемлемой сложностью решения.

2. На ВАХ НЭ выделяется рабочий участок, подлежащий аппроксимации. В пределах этого участка произвольно задаются (намечаются) К+1 точeк, параметры которых известны (рис. 3.11,а).

Напряжение U_а, соответствующее первой точке – а₀, принимаем равным U₀. Для каждой точки составляем уравнение в соответствии с (3.5):

Для точки а:

.

Для точки в:

.

Для точки с:

.

3. Решается система из К+1 уравнения относительно коэффициентов а_i.

4. Найденные значения коэффициентов подставляются в (3.5). Это и есть аналитическое выражение для рабочего участка ВАХ.

Пример:

Выполнить аппроксимацию рабочего участка ВАХ НЭ, ограниченного точками а – с на рис. 3.11, б.

1. Форма рабочего участка ВАХ близка к линейной. Поэтому для аппроксимации достаточно трех точек, т.е. (К+1) = 3. Отсюда К = 2. Степенной полином имеет вид:

.

2. Составляем систему уравнений для выделенных точек ВАХ, учитывая, что U_а = U₀

3. Решаем систему из двух уравнений относительно а₁ и а₂. Приводим уравнения к каноническому виду:

.

Тогда

,

, -частные, -общий определители системы.

4. Подставляя значения а₁ и а₂ в полином, получаем решение в виде:

На практике в целях аппроксимации применяют полиномы первой, второй и третей степени, укороченный полином третей степени

,

укороченный полином пятой степени

.

Полином первой степени удобен для аппроксимации линейных участков ВАХ, второй степени – для аппроксимации квадратичных участков (начальных участков ВАХ диодов), третей степени и укороченные полиномы – для аппроксимации участков ВАХ, имеющих загибы.

3.2. Аппроксимация экспоненциальной функцией.

Общее выражение для экспоненциальной функции имеет вид:

. (3.6)

Задача аппроксимации сводится к определению коэффициентов а₀ и а.

Обычно экспоненциальные функции применяют для аппроксимации начальных участков ВАХ. Пусть, например, известна входная ВАХ транзистора (рис. 3.12). Необходимо аппроксимировать ее начальный участок, ограниченный точками а и в.

А лгоритм аппроксимации:

1. Для каждой точки составляем уравнение:

2. Решаем систему относительно коэффициента а:

3. Определяем коэффициент а₀. Для этого в любое из исходных уравнений для токов I_a и I_в подставляем значение а:

3.3. Аппроксимация применением гиперболического синуса.

Общее выражение аппроксимирующей функции для нелинейного сопротивления имеет вид:

, (3.7)

для нелинейной индуктивности

,

для нелинейной емкости

.

В этих выражениях α и β – искомые коэффициенты. Их размерность определяется типом НЭ и приведена в таблице 3.1.

Таблица 3.1

НЭ	Сопротивление	Индуктивность	Емкость
α	В	А/м	В
β	А-1	Тл -1	К -1

Допустим, что аппроксимации подлежит рабочий участок одной из ветвей выходной вольт-амперной характеристики транзистора, приведённой на рис. 3.13.

Алгоритм аппроксимации.

1. На характеристике, в предполагаемом рабочем участке выбираем две наиболее характерные рабочие точки а и б, через которые должна пройти аналитическая кривая. Определяем координаты точек:

U_а = 1 В; I_а = 0,16 А; U_б = 5 В; I_б = 0, 2 А

2. Составляем уравнения по (3.7) для каждой точки:

1,0 = α·sh(β·0,16)

5,0 = α·sh(β·0,2)

3. Решаем уравнение относительно β.

Для этого:

а) делим уравнения

б) Задаемся произвольными значениями β и делаем подсчеты. Результаты расчётов сведены в таблицу 3.2.

Таблица 3.2

	10	20	30	40	50
β·Iб	2	4	6	8	10
β·Iа	1,6	3,2	4,8	6,4	8
	1,52	2,22	3,32	4,95	7,38

в) По полученным результатам строим зависимость . График такой зависимости приведён на рис. 3.14.

г ) По графику находим значение β при : β = 40,5 А^-1.

4. Определяем коэффициент α по (3.7): ,

5. Составляем искомое аналитическое уравнение кривой рис. 3.13, а

.