§ 19. Полная и приведенная системы вычетов. Теоремы Эйлера в Ферма.

Поскольку отношение сравнения целых чисел по модулю це­лого числа m явл-ся отношением эквив-ти =>множество всех целых чисел распадается в объединение по­парно непересекающихся классов сравнимых между собой по моду­лю m эл-тов. Эти классы будем называть классами вычетов по модулю т. Элементы этих классов (целые числа) называются вы­четами по модулю т.

По определению, числа а и b принадлежат одному классу <=>, когда a b(mod m). a b(mod m) , когда а и b при делении на т дают одинаковые остатки. Поэтому, классы вычетов можно занумеровать с помощью остатков от деления чисел на т. Остатками могут быть лишь числа 0,1,..., m–1, поэтому различных классов вычетов по модулю m су­ществует m штук. Будем обозначать эти классы

Полной системой вычетов по модулю m называется совокуп­ность m целых чисел, содержащая точно по одному вычету из каж­дого класса вычетов по модулю т.

Напр-р, полными системами вычетов по модулю 6 являют­ся множества: {0,1,2,3,4,5}; {1,2,3,4,5,6}; {-3,-2,-1,0,1,2}.

Совокупность чисел 0,1,2,...,m-1 называется полной системой наименьших неотрицательных вычетов по модулю m. Рассматрива­ются, кроме того, полные системы наименьших положительных вы­четов, полные системы абсолютно наименьших вычетов.

Т1. Любая совокупность целых чисел x₁, x₂,…, x_m, по­парно несравнимых по модулю т, образует полную систему вычетов по модулю т.

Док. Каждое из чисел x₁, x₂,…, x_m принадлежит не­которому классу вычетов. Поскольку х_i не сравнимо с x_j при i j, то никакие 2 числа не принадлежат одному классу. Т.к. чисел m штук, как и классов, то среди рассматриваемых чисел есть предста­вители всех классов. Следовательно, x₁, x₂,…, x_m - полная система вычетов.

Т2. Пусть (a,m)=1 , b - произвольное целое число. Если x₁, x₂,…, x_m - полная система вычетов по модулю т, то ax₁+ b, ax₂+b,…, ax_m+b - полная система вычетов по модулю т.

Док.. Каждое из указанных чисел второй системы принадлежит некоторому классу вычетов. Пусть ax_i+b ax_j+b(mod m), i j, тогда ax_i ax_j(mod m), (а,m)=1, =>, x_i x_j(mod m). Про­тиворечие с условием. Поэтому, никакие 2 числа из 2ой систе­мы не принадлежат одному классу. Так как чисел m штук, как и классов, то среди рассматриваемых чисел есть представители всех классов. Следовательно, ax₁+ b, ax₂+b,…, ax_m+b - полная система вы­четов.

Т3. Числа из одного класса вычетов по модулю m имеют с m один и тот же наибольший общий делитель.

Док.. Пусть a b(mod т), тогда a=b+mt для некото­рого целого t, поэтому (а,т)=(b,т).

Наибольшим общим делителем класса вычетов по модулю m и числа т называется н.о.д. любого вычета из этого класса и числа т.

Класс вычетов по модулю называется взаимно простым с модулем т, если ( ,,т)=1

Приведенной системой вычетов по модулю m называется со­вокупность вычетов по модулю m, взятых по одному из каждого класса вычетов, взаимно простого с m.

Напр-р, следующие множества являются приведенными системами вычетов по модулю 6: {1,5}; {-1,1};{7,11}.

Т4. Пусть число классов, взаимно простых с m равно k. Тогда любая совокупность k целых чисел x₁, x₂,…, x_k попарно не­сравнимых по модулю m и взаимно простых с m есть приведенная система вычетов по модулю m.

Т5. Пусть (a,m)=1, x₁,x₂,…,x_k приведенная система вычетов по модулю т, тогда ax₁, ax₂,…, ax_k - приведенная система вычетов по модулю m.

Док. (ax_i,m)=1 т.к. (а,m)=1 и (x_i,m)=1. Поэто­му, числа второй системы взяты из классов, взаимно простых с т. Допустим ax_i ax_j(mod m) , i j тогда x_i x_j(mod m) поскольку (а,m)=1. Противоречие с условием. По Т4, ax₁, ax₂,…,ax_k - приведенная система вычетов по модулю m.

Обозначим через φ(m) кол-во натур. чисел не пре­вышающих т и взаимно простых с т. Тогда кол-во классов вы­четов по модулю m, взаимно простых с m равно φ(m). Кол-во вычетов в приведенной системе вычетов по модулю m = φ(m).

Т Эйлера. Если (а,m)=1, то а^φ(m) 1 (mod m).

Док. Пусть x₁, x₂,…, x_φ(m) приведенная система наименьших положительных вычетов по модулю т, тогда, по Т5, ax₁, ax₂,…,ax _φ(m) - приведенная система.вычетов по модулю m. Каждое число из 1ой системы сравнимо по модулю m с одним и только одним из чисел 2ой системы, поэтому, произведение всехчисел 1ой системы сравнимо по модулю m с произведением всех чисел 2ой системы: ax₁, ax₂,…,ax _φ(m) x₁, x₂,…, x_φ(m)(mod m)

а^φ(m) x₁, x₂,…, x_φ(m) x₁, x₂,…, x_φ(m)(mod m) т.к.

(x₁, x₂,…, x_φ(m),m)=1, то а^φ(m) 1 (mod m).

Т Ферма. Если р - простое число и (а_, р)=1, то а^p-1 1 (mod p).

Док. Поскольку р - простое число, то φ(р)=р-1, от­куда, по теореме Эйлера, а^p-1 1 (mod p)