§11. Тригонометрическая форма компл. Числа.

Компл. число z=a+bi при точечной интерпретации изображается точкой М(а,b). Обозначим через r длину вектора . φ- угол между положительным направлением оси Ох и вектором . r и φ являются полярными координатами точки М. Соотношения между декартовыми и полярными координатами точки М имеют вид:

Тогда,

z =a+bi =r cos φ+ir sin φ= r(cos φ +i sin φ).

Представление компл. числа в виде z= r (cos φ +i sin φ), где r,φ наз-ся тригоном. формой компл. числа z. r наз-ся модулем числа z и обозначается , φ наз-ся аргументом числа z и обозначается arg z.

Т1. Для , отличного от нуля, компл. Числа тригоном. форма, причем модуль числа определяется однозначно, аргумент — с точностью до числа, кратного 2π.

На практике в качестве аргумента числа берут φ [0;2π). При этих ограничениях на аргумент тригонометрическая форма числа определяется однозначно.

Пр-р. Найти тригонометрическую форму числа z=2–2i а=2, b=–2,

По знакам sinφ и cosφ заключаем, что φ лежит в 4-й четв. По значениям sinφ и cosφ получаем, что

Т2. Если z₁= r₁(cosφ₁+i sinφ₁) и z₂=r₂(cos φ₂ +i sinφ₂) - комплексные числа, заданные в тригоном. форме, то

1. 

2. 

3. 

Док. 1)

Рассмотрим произведение

Значит, по определению частного

3) Док-ся методом мат. индукции на основе св-ва 1). ЧТД.

Компл. число β наз-ся корнем n-й степени из компл. числа z, если βⁿ=z . Обозначение

Т3. Пусть n N. Сущ-ет п различных корней n-й степени из компл. числа z= r(cos φ +isin φ) . Все они могут быть получены по формуле: Док.Действительно,

По Т2 3).

Пусть корень п-й степени из z. Тогда по Т2 3), .Из равенства двух чисел получаем

При получаем n различных корней n-й степени из z. При всяком другом значении k получаем число, равное одному из указанных корней.

§12. Системы линейных уравнений.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными над полем F наз-ся система вида

(1)

где a_ij ,β_i F , x_i - неизвестные.

Вектор (γ₁, γ₂,..., γ_n ) наз-ся решением системы (1), если

- верные равенства.

Система линейных уравнений наз-ся совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет решений, то она наз-ся несовместной. Система уравнений наз-ся опре- деленной, если она имеет ! решение. Если система име­ет >1 решения, то она наз-ся неопределенной.

(2)

Система уравнений (2) наз-ся следствием системы (1), ес­ли каждое решение системы (1) является решением системы(2). Сис­тема уравнений (2) наз-ся равносильной системе (1), если мн-ва решений этих систем равны. Другими словами, системы уравнений равносильны, если каждая из них является следствием другой.

Отметим некоторые свойства равносильных систем:

1°. Если какое-либо уравнение системы умножить на ненуле­вой элемент из поля F, то полученная система равносильна исход­ной.

2°. Если к одному уравнению системы прибавить другое, то полученная система равносильна исходной.

3°. Если из системы уравнений исключить или добавить к сис­теме уравнение, являющееся следствием остальных уравнений, то полученная система равносильна исходной.

4°. Уравнение 0x₁+0x₂+...+0x_n=β, не имеет решений. Система, содержащая это ур-е несовместна.

5°. Ур-е 0x₁+0x₂+...+0x_n=0 является следствием любой системы уравнений.

6°. Если два уравнения системы поменять местами, то полу­чится система равносильная исходной.

Докажем свойство 1°. Умножим первое уравнение системы (1) на , получим систему

(3)

Пусть (γ₁, γ₂,..., γ_n) -решение (1). Тогда , аналогично показывается, что

(γ₁, γ₂,..., γ_n) - решение остальных уравнений сис­темы (3). Следовательно, (3) - следствие (1). Подобные рассуждения показывают, что (1) - следствие (3). Значит, (1) равносильна (3). Свойства 2°, 3°, 4° и 5° доказываются аналогичными рассуждения­ми.

Следствие. Если к одному из уравнений системы прибавить линейную комбинацию других уравнений, то получится система, равносильная исходной.

Рассмотрим метод решения систем линейных уравнений, ко­торый наз-ся методом последовательного исключения неиз­вестных или методом Гаусса.

Рассмотрим систему (1). Если все коэффициенты при неиз­вестных =0, то, если найдется , система не имеет ре­шений (4°); если все , то любой вектор является решением сис­темы (1). Если не все коэффициенты при неизвестных =0, то, с помощью перестановок уравнений и переименований неизвест­ных, добьемся, чтобы . Исключим из всех уравнений системы, кроме первого, неизвестную x₁ следующим образом: ко 2му уравнению системы прибавим 1ое уравнение, умноженное на , к 3му - 1ое, умноженное на и т.д. Получим систему, равносильную (следствие) системе (1):

(4)

Перестановкой уравнений и переименованием неизвестных получаем, если это возможно, . Прибавим к 3му уравнению системы (4) 2ое, умноженное на и т.д. Продолжая далее, мы исключим х₂ из всех уравнений, начиная с 3го. Повторяем эту процедуру, пока это возможно. Встречающиеся уравнения вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=0 исключаем из системы. Если встретится уравнение вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=β, , то наша система, а, значит, и система (1), несовместны. Если система (1) совместна, то мы получим систему, равносильную (1) которая имеет вид:

(5)

Если r=n, то из последнего уравнения системы (5) найдем х_n, подставим это значение во все остальные уравнения. Из предпо­следнего уравнения найдем х_п-1 и т.д. Получается, что система (1), в этом случае, имеет единственное решение.

Если г<n, то придадим любые значения неизвестным х_r+1, х_r+2,..., х_n подставим эти значения вместо неизвестных во все урав­нения системы (5), вычислим из последнего уравнения значение х_r и подставим вместо х_r , это значение во все остальные уравнения. Да­лее найдем значения остальных неизвестных. В этом случае, система (1) имеет более одного решения. Получаемые этим способом реше­ния системы (1) называются частными решениями. Если выразить из последнего уравнения системы (5) х_r через х_r+1,..., х_n, подставить в остальные уравнения системы, из предпоследнего уравнения выра­зить х_r-1 через х_r+1,..., х_n, и т.д., то таким образом удасться выразить неизвестные х₁,..., х_r , называемые зависимыми неизвестными через неизвестные х_r+1,..., х_n, называемые свободными неизвестными. Система полученных выражений носит название общего решения системы. Подставляя в общее решение вместо свободных неизвест­ных произвольные элементы поля F, можно получить все частные решения системы (1).

Окончательно получаем: если при использовании метода Га­усса встретилось противоречивое уравнение 0x₁+0x₂+...+0x_n=β, , то исходная система несовместна; в остальных случаях получается система вида (5) и, если r=n, то исходная система определенна, в противном случае (r<n) - неопределенна.