§ 18. Сравнения по модулю целого числа. Свойства.

Признаки делимости.

Пусть т - целое число, т .2 целых числа а и b называются сравнимыми по модулю целого числа т, если (а-b) т.

Записывается так: a b(mod т).

Считаем т>0.

Т1. 2 целых числа а и b сравнимы по модулю т <=>, когда а и b имеют одинаковые остатки при делении на т.

Док. Пусть a b(mod т),=> (а-b) т. поэтому a-b=mq.Пусть b=mq₁+r, 0≤r<m, тогда a=b+mq=mq₁ +r+mq=m(q+q₁ )+r.

Достаточность. Пусть a =mq₁+r и b=mq₂+r, тогда a–b=m(q₁–q₂), следовательно, (а-b) т.

Следст1.Если а т, то a 0(mod т).

Следст2.Если a=mq+r, то a r(mod m).

Свойства сравнений.

1°. Отношение сравнения по модулю числа m яв-ся отношением эквивалентности.

Док. (a-a) m => a a(mod m). Рефлексивность доказана. Пусть a b(mod т) => (a-b) m => (b-a) m => b a(mod m). Доказана симметричность отношения. Если a b(mod m), b c(mod m) => (а–b) m, (b–c) m => ((a–b)+(b–c)) m => (а-с) т. Транзитивность доказана. Следовательно, отношение сравнения является отношением эквив-ти.

2°. К обеим частям сравнения можно прибавить одно и то же число.

Пусть а b(mod т) => (а-b) т => ((а+c)–(b+с)) т => a+c b+c(mod m).

3°. Члены сравнения можно переносить из одной части сравнения в другую с противоположным знаком.

Пусть а+с b(тоd т) => ((а+с)–b т =>(а-(b-с)) т => a b–c(mod т).

4°. 2 сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать.

а b(mod т), c d(mod т)=>(a–b) m, (c–d) m => ((a–b)+(c–d)) m => ((a+c)–(b+d)) т => а+c b+d(mod т).

5°. 2 сравнения по одному и тому же модулю можно почленно вычитать.

Док. аналогично предыдущему.

6°. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число.

a b(mod m) => (а–b) m=> ((а–b)с) m=>(ас–bс) m=> aс bc(mod m).

7°. 2 сравнения по одному и тому же модулю можно почленно перемножить.

a b(mod m), c d(mod m) =>(a–b) m, (c–d) m => (a-b)c m, (c–d)b m =>((a–b)c+(c–d)b) m =>(ac–bc+cb– db) m => (ac-db) m => ac bd(mod m).

8°. Обе части сравнения можно возводить в одну и ту же натуральную степень.

Док-ся по индукции с использованием 7°.

9°. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое число.

a b(mod m) => (а–b) m => (а–b)n mn => (an–bn) mn => an bn(mod mn).

10°. Если a b(mod т) и т п, то a b(mod n).

a b(mod m) =>(a-b) m, m n=> (a-b) n => a b(mod n).

11°. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.

a b(mod т) и a n, b n, m n => а=а₁n, b=b₁n, т=m₁n => (а₁n– b₁n) m₁n=>( а₁– b₁)n m₁n=>( а₁– b₁) m₁=> a₁ b₁(mod m₁)

12°. Обе части сравнения можно разделить на число, взаимно простое с модулем.

a b(mod т) и a n, b n, (m,n)=1 => а=а₁n, b=b₁n, (а₁n– b₁n) m => =>( а₁– b₁)n m, (т,п)= 1 => ( а₁– b₁) m => a₁ b₁(mod m)

13°. Если Р(х) - многочлен с целыми коэффициентами и a b(mod m), то P(a) P(b)(mod m).

. a b(mod m) , по 8°, a² b²(mod m),..., a ⁿ bⁿ(mod m).

Умножим полученные сравнения на , получим c_n c_n(mod m), c_n-1a c_n-1b(mod m), c_n-2a² c_n-2b²(mod m),…, c₀aⁿ c₀bⁿ(mod m). Сложим эти сравнения c₀aⁿ + c₁a^n-1+...+ c_n c₀bⁿ + c₁b^n-1+ ...+ c(mod m). Получили P(a) P(b)(mod m).

Т2. (Обобщенный признак делимости Паскаля). Пусть натуральное число записано в системе счисления с основанием g. r_i - остатки от деления gⁱ на m. Для того, чтобы число N делилось на т, необходимо и достаточно, чтобы число делилось на m. Док-во: по условию. По свойствам сравнений, .Из этого следует, что Используем Т2 для вывода признаков делимости на 3, 9.