§ 17. Простые и составные числа.

Натуральное число р называется простым, если оно имеет в точности 2 различных натуральных делителя. Например: 2,3,7,19.

Натуральное число n называется составным, если оно имеет > двух натуральных делителей. Напр-р: 4,6, 8,9,28.

Число 1 имеет ! натуральный делитель, поэтому 1 не явл-ся ни простым, ни составным числом. Любое другое на­туральное число n имеет не менее двух различных натуральных де­лителей - 1 и п. Значит, если число n простое, то делителей, отлич­ных от 1 и n оно не имеет. Если число n составное, то оно имеет де­лители, отличные от 1 и n, а потому делится на число т, что 1<т<п. Мн-во всех натуральных чисел разбивается на 3 попарно не­пересекающиеся класса: 1, простые числа, составные числа.

Свойства.

1°. Если p₁, p₂ – различные простые числа, то p₁ не делится на p₂

Док.. Допустим противное, p₁ p₂ , но, поскольку p₁ простое, делителей, отличных от 1 и p₂ оно не имеет. Поэтому p₂=1 или p₂ = p_1. Так как р₂ простое, то p₂ 1 . По условию, p₁ p₂ Противо­речие.

2°. Любое натуральное число,>1, делится хотя бы на одно простое число.

Док.. Индукция по числу n. Пусть n=2. 2 - простое число и 2 2. Пусть утверждение св-ва справедливо для всех на­туральных чисел, >1 и <n. Докажем справедливость утверждения для n. Если n - простое число, то n n и все доказано. Если n не является простым, то оно составное, поэтому найдется m, т п что п т. Из этого следует, что n=q, 1<m<n, следовательно, по предположению индукции, т делится на некоторое простое число р => п р.

3°. Наименьший отличный от 1 делитель составного числа n есть простое число р .

Док., n - составное число, n имеет делитель, 1 и <n. Пусть m - наименьший делитель n, не рав­ный 1. По свойству 2°, т делится на простое число р, которое ≤т. Поскольку т - наименьший делитель, то р=т. п=рn₁, где р≤n₁ (р - наименьший делитель). Умножим последнее неравенство на р, полу­чим p²≤n₁p, откуда р²≤п. Следовательно, р

Следствие. Если натуральное число n, >1, не делится ни на одно простое число, не превосходящее , то оно простое.

4°. Если n - натуральное число и р — простое, то либо п р, ли­бо (п,р)=1.

Док.. Пусть d=(n,p). p d, то, поскольку р — простое число, то d= 1 или d=р. Если d= 1, то (n,p)=1. Если d=p, то п р.

5°. Если произведение нескольких натуральных сомножителей делится на простое число р, то хотя бы один из этих сомножителей делится на р.

Док.. Пусть a₁,a₂,...,a_k р. Допустим противное, т.е. каждое a_i - не делится на р. По свойству 4°, каждое a_i взаимно просто с р. По свойству взаимно простых чисел, произведение a₁a₂...a_k яв­л-ся числом, взаимно простым с р, а потому не может делиться на р. Противоречие с условием.

Т1. Множество всех простых чисел бесконечно.

Док.. Предположим, что множество всех простых чисел конечно. Пусть p₁=2, p₂,...,p_k - все простые числа, записан­ные в порядке возрастания. Рассмотрим число n=p₁p₂...p_k+1 Так как n>p_k то п - составное число, поэтому п делится хотя бы на одно простое число p_i { p₁ ,p₂,...,p_k }Тогда 1=n– p₁ p₂...p_k p_i , но 1< p_i . Про­тиворечие. ЧТД,

Рассмотрим алгоритм нахождения всех простых чисел в про­межутке [1;n], который носит название решета Эратосфена:

1. вычеркиваем 1,

2. оставляем 2 и вычеркиваем далее все числа, кратные 2,

3. оставляем 3 (невычеркнутое число, следующее за предыдущим оставленным) и вычеркиваем далее все кратные ему,

4. вычеркиваются все кратные следующего оставленного числа, кроме него самого. Продолжаем до тех пор, пока оставляемые числа ≤

5. оставшиеся невычеркнутыми числа - простые.

Т2. (Основная Т арифметики). Всякое нату­ральное число n>1 либо является простым, либо может быть пред­ставлено в виде произведения простых чисел и притом ! образом, с точностью до порядка следования сомножителей.

Док. ). Индукция по числу n. n–2 - простое число. Предположим, что всякое число, <n либо просто, либо его можно представить в виде произведения простых чисел. Рассмотрим число n. Если оно простое, то -ие до­казано. Если n - составное, то оно имеет простой делитель p₁. Тогда n=p₁m, где m<n. По предположению индукции, m=p₂p₃...p_k. тогда n=p₁p₂p₃...p_k. -ие доказано.

!). Индукция по числу n. n=2 - простое число. Его нельзя представить в виде произведения простых чисел. Пред­положим, что !-ть верна для всех натуральных чисел, меньших n. Докажем !-ть для числа n. Если n - простое число, то все доказано. Пусть n - составное число и пусть n двумя способами представляется в виде произведения простых чисел: n=p₁p₂p₃...p_k и n=q₁q₂q₃...q_s.Тогда p₁p₂p₃...p_k=q₁q₂q₃...q_s. Отсюда, q₁q₂q₃...q_s p₁, p₁-простое. По свойству 5°, хотя бы одно из чисел q_i делится на p₁. Пусть это будет q₁. p₁ и оба они простые, следова­тельно, q₁=p₁ . Тогда p₂p₃...p_k=q₂q₃...q_s. Т.к обе части рав-ва <n, то, по предположению индукции, k=s и, при соответст­вующей нумерации q₂=p₂, q₃=p₃,..., q _k=p_s. ЧТД.

Составное число можно представить в виде произведения про­стых чисел. Среди этих простых чисел могут встречаться одинако­вые. Пусть р₁ встречается α₁ раз, р₂–α₂ раз,..., р_k–α_k раз. Тогда число п можно записать в виде .Такое представление числа называется каноническим представлением.