§ 16. Базис и размерность конечномерного векторного пространства.

Пусть V- векторное пространство над полем F.

Т1. Мн-во L(a₁,a₂,...,a_m) всех линейных комбинаций векторов a₁,a₂,...,a_m Vобразует векторное пространство над полем F.

Док. сводится к непосредственной дроверке замк­нутости мн-ва L(a₁,a₂,...,a_m) относительно сложения, умножения на скаляр, выполнимости аксиом векторного пространства.

Это пространство наз-ся линейной оболочкой системы векторов или говорят, что оно порождается системой векторов a₁,a₂,...,a_m.

Векторное пространство V наз-ся конечномерным, если оно порождается конечным мн-вом векторов a₁,a₂,...,a_m.

Базисом конечномерного векторного пространства наз-ся непустая конечная линейно независимая система векторов, порож­дающая это пространство.

Пр-р. Пространство Rⁿ обладает базисом e₁,е₂,...,е_п.

Т2. Любое ненулевое конечномерное векторное про­странство обладает базисом.

Док.. Пусть V=L(a₁,a₂,...,a_m). Если а₁ линейно вы­ражается через остальные векторы, то удаляем его из системы, в противном случае, оставляем этот вектор в системе. Если а₂ линейно выражается через остальные векторы измененной системы, то уда­ляем его из системы, в противном случае, оставляем а₂ в системе. Продолжаем этот процесс до конца. По условию, хотя бы один из векторов ненулевой, поэтому, оставшаяся система векторов b₁,b₂,...,b_n - ненулевая и каждый ее вектор не выражается линейно через остальные, т.е. является линейно независимой системой. Так как каждый вектор u пространства V является линейной комбинаци­ей векторов системы a₁,a₂,...,a_m, а каждый вектор этой системы ли­нейно выражается через векторы системы b₁,b₂,...,b_n, то и линейно выражается через b₁,b₂,...,b_n - Это означает, что V=L(b₁,b₂,...,b_n). Следовательно, b₁,b₂,...,b_n – базис пространства V.

Т3. Любые два базиса конечномерного векторного пространства содержат одинаковое число векторов.

Док.. Пусть b₁,b₂,...,b_n и c₁,c₂,...,c_s - базисы про­странства V. Тогда все векторы первой системы, как элементы про­странства, линейно выражаются через векторы второй системы, как базиса пространства. Следовательно, поскольку первая система ли­нейно независима, то по свойствам линейной зависимости, n≥s. Аналогично, векторы второй системы линейно выражаются через векторы первой системы и s≥n. Следовательно, n=s.

Следствие 1. Если базис векторного пространства V состоит из п элементов, то при к>п любая система k векторов пространства V линейно зависима.

Следствие 2. Если базис векторного пространства V состоит из n векторов, то любая система из n векторов, порождающая V, яв­ляется базисом V.

Размерностью ненулевого конечномерного векторного про­странства V наз-ся число векторов в базисе этого пространства. Размерностью нулевого векторного пространства наз-ся 0. Обо­значается dim V.

Т4. Любое подпространство U конечномерного векторного пространства V само является конечномерным и dim U≤dim V

Пусть b₁,b₂,...,b_n - базис пространства V. U - ненулевое подпространство пространства V. Пусть . Если L(u₁) U, то найдется , причем u₁,u₂ линейно независимы. Если L(u₁,u₂) U, то найдется , поэтому u₁,u₂, u₃ линейно независимая система. Продолжаем этот процесс. Он не может продолжаться бесконечно, так как если мы получим u₁,u₂,...,u_n+1 то, по следствию 1 из теоремы 3, эта система линейно зависима, что противоречит нашим построениям. Таким образом, в результате нашего процесса получается линейно независимая система векторов u₁,u₂,...,u_k, такая, что U= L(u₁,u₂,...,u_k) и к≤п. Следовательно, u₁,u₂,...,u_k - базис U. Это и означает, что V - конечномерное пространство и dimU≤dimV.

Т5. Если U - подпространство пространства V и dimU=dimV, то U=V.

Док. Если V - нулевое подпространство, то 0=dimU=dimV, следовательно, V - нулевое пространство и U=V. Пусть U {θ} и b₁,b₂,...,b_n - базис U. Так как dimU=dimV, то базис V состоит из n векторов. Поскольку b₁,b₂,...,b_n - линейно независимая система векторов из V, то она является базисом V.

Т6. Любой вектор конечномерного векторного пространства единственным образом представим в виде линейной комбинации векторов одного и того же базиса.

Пусть b₁,b₂,...,b_n - базис пространства V и .Скаляры α₁,α₂,...,α_n называются координатами вектора а в базисе b₁,b₂,...,b_n._. Арифметический вектор (α₁,α₂,...,α_n) наз-ся координатным вектором вектора в базисе b₁,b₂,...,b_n.

Т7. Координатный вектор суммы векторов в базисе b₁,b₂,...,b_n равен сумме их координатных векторов в этом же базисе. Координатный вектор произведения скаляра λ на вектор а в базисе b₁,b₂,...,b_n равен произведению скаляра λ на координатный вектор вектора а в этом же базисе.