§ 13. Критерий совместности системы линейных уравнений

Строчечным рангом матрицы

А =

ранг системы ее строк т.е. количество векторов в базисе системы строк матрицы. Столбцовый ранг матри­цы А - это ранг системы столбцов матрицы А.

Т1. Строчечный ранг матрицы равен ее столбцовому рангу.

Рангом матрицы А наз-ся ее строчечный (столбцовый) ранг. Обозначение r(A).

Рассмотрим систему линейных уравнений (1)

Матрицы А=

и В=

называются матрицей системы и расширенной матрицей системы (1) соответственно.

Т2 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Док. Необходимость. Пусть система (1) совместна.

Пусть (γ₁, γ₂,..., γ_n) - решение системы (1). Следовательно,

- верные равенства.

В векторной форме это можно записать в виде y₁b₁ +...+y_nb_n=b, где

Это значит, что последний столбец матрицы В является линейной комбинацией предыдущих столбцов, т.е. столбцов матрицы А. Поэтому, столбцовый ранг матрицы В равен столбцовому рангу матрицы А, или, что то же самое, r(А)=r(В).

Достаточность. Пусть r (А)= r (В). Следовательно, столбцовый ранг матрицы А равен столбцовому рангу матрицы В. Система столбцов матрицы В получается из системы столбцов матрицы А добавлением столбца свободных членов. Следовательно, последний столбец матрицы В есть линейная комбинация первых n столбцов. Поэтому, найдутся скаляры λ₁, λ₂,..., λ_n, такие, что λ₁b₁+ λ₂b₂+...+ λ_nb_n=b. Перейдя от равенства векторов к равенствам координат, получим, что (λ₁, λ₂,..., λ_n)- решение системы (1). ЧТД.

§ 14. Векторное пространство. Свойства.

Пусть F - поле. Мн-во L, на котором определена бинарная операция сложения + и определено действие элементов из F на элементы из L ( F, a L, L) наз-ся векторным (линейным) пространством над полем F, если выполняются условия:

1. ( a,b,c L) ((a+b)+c=a+(b+c))

2. ( a,b L) (a+b=b+a)

3. ( θ L)( a L) (θ +a=a)

4. ( a L)( (–a) L) (а+(–а)= θ)

5. ( α,β F)( a L)(( αβ)a=( α(βa))

6. ( α,β F)( a L))(( +β)a=(αa+βa))

7. ( α F)( a,b L)( α (a+b)= αa+ αb)

8. ( a L)(1a=a), 1 F.

Из определения следует, что мн-во L относительно операции сложения образует абелеву группу. Элементы мн-ва L называются векторами, элементы поля F - скалярами.

Пр-ры. 1. Мн-во С всех компл. чисел относительно сложения чисел над полем R всех действительных чисел образует векторное пространство. Действие элементов из R на элементы из С- обычное умножение чисел.

2. Мн-во всех действительных функций от одной переменной, непрерывных на [а;b] относительно поточечного сложения - векторное пространство над полем R. Умножение на скаляр - умножение функции на число.

3. Рассмотрим мн-во Fⁿ={(α₁,α₂,...,α_n)| α₁,α₂,..., α_n F} Элементы этого мн-ва будем называть арифметическими n-мерными векторами.

Векторы a=(α₁,α₂,...,α_n) и b=(β₁, β ₂,..., β _n) называются равными, если α₁= β₁, α₂= β₂,…, α_n= β_n.

Суммой векторов a=(α₁,α₂,...,α_n) и b=(β₁, β ₂,..., β _n) наз-ся вектор a+b=( α₁+β₁, α₂+ β₂,…, α_n+β_n.).

Произведением скаляра λ на вектор a=(α₁,α₂,...,α_n) наз-ся вектор λa=( λα₁, λα₂,..., λα_n). Нетрудно непосредственной проверкой убедиться, что мн-во всех арифметических n-мерных векторов относительно сложе­ния векторов и умножения их на скаляр образует векторное про­странство над полем F. Это пространство наз-ся арифметиче­ским я-мерным векторным пространством над полем F. Нейтраль­ный относительно сложения элемент будем называть нулевым век­тором и обозначать θ=(0,0,...,0). Вектор (–l)a=(–1)( α₁,α₂,...,α_n)=(–α₁,–α₂,...,–α_n)=–a является симметричным к вектору а, будем называть его противоположным к вектору я.

4. F^m×n – мн-во всех n×m-матриц над полем F относи­тельно обычных сложения матриц и умножения их на скаляр. Не­трудно убедиться, что все асиомы векторного пространства выпол­няются.

Свойства векторных пространств.

Поскольку векторное пространство является абелевой группой относительно сложения, то все свойства групп выполняются.

1°. ( a L) (0a=θ)

2°. ( α F) (αθ=θ)

3°. Если αа= θ, то α=0 или a=θ

4°. (–α)а=–αa

5°. α(–a)= –αa

6°. (α–β)a=αа–βa

7°.α(a–b)=αa–αb

8°. Если αa=αb и α 0, то а=b

9°. Если αа =βa и a 0, то α=β.

Док.

1°. αа = (α+0)a= αа+0a, по свойству группы, 0a= θ.

2°. αа = α(a+θ)= αа+ αθ, по свойству группы, αθ =θ.

3°. Если а 0, то a=1a=(α^-1α)a= α^-1(αа)= α^-1θ = θ.

4°. αа+(–α)a=(α+(–α))а=0a=θ => (–α)a=–αa.

5°. αа+α(–a)=α+(a+(–а))=aθ=θ => α(–a)=–αa.

6°. (α–β)а=( α+(–β))a= αa+(– β)a=αa–βa

8°. αa=αb и α 0 => α^-1(αa)= α^-1(αb)) => (α^-1α)a= (α^-1α)b => a=b

9°. αa=βa => αa+(–αa)=βa+(–αa) => θ=(β–α)а, a 0 => β–α=0=> β=α