§ 10. Поле компл. Чисел.

Над действительными числами можно производить все 4 арифм.операции, кроме деления на 0, а также извлекать корни степени из неотрицательных чисел. Но есть задачи, которые требуют для сво­его решения доп-ых возможностей. Речь идет, например, о нахождении корней квадратного уравнения х²=–1. Все дело упирается в возможность извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Эти потребности привели к расширению поля дейст­в-х чисел, которое назвали полем компл. чисел.

Полем компл. чисел наз-ся поле <С,+,∙>, которое удовлетворяет следующим условиям:

1. Поле <С,+,∙> содержит в качестве подполя поле действительных чисел;

2. Поле <С,+,∙> содержит элемент i, такой, что i ² = –1.

3. Каждый элемент поля <С,+,∙> представляется и притом ! образом в виде z=a+bi (! в том смысле, что а и b определены однозначно), где a,b R.

Можно доказать, что поле компл. чисел сущ-ет и любые два поля компл. чисел изоморфны.

Эл-ты поля компл. чисел наз-ют компл. числами. Запись их в виде z=a+bi наз-ся алгебраической фор­мой компл. числа z. а наз-ся действительной частью, bi - мнимой частью числа z, b наз-ся коэффициентом мнимой части числа z.

Т1. Операции над компл. числами в алгебр. форме выполняются по правилам:

1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

2)a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(ad+bc)i;

3)Если a + bi , то

Вычитание и деление компл. чисел производятся сле­дующими способами:

(a+bi)–(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

Комплексные числа z=a+bi и z=a—bi называются компл. сопряженными.

Т2.Справедливы следующие утверждения:

1. 

2. 

3. 

4. ;

5. 

Док. проводится непосредственной проверкой, например, пусть z₁=a+bi, z₂=c+di.

Остальные свой­ства доказываются аналогично. ЧТД.

Подполе поля всех компл. чисел наз-ся числовым полем. Примерами числовых полей служат <Q,+,∙>, <R,+,∙>, <С,+,∙>, <{a+b |a,b },+,∙>

Т3. Непустое подмн-во Р поля С является число­вым полемкогда Р замкнуто относительно 4х арифм. действий.

Т4. Поле всех рациональных чисел является подполем всякого числового поля.

Геометрическое представление компл. чисел и операций над ними. Компл. числу z=a+bi поставим в соответствие точ­ку М(а,b) координатной плоскости. Это соответствие является би­ективным отображением мн-ва всех компл. чисел на мн-во всех точек плоскости. Эту плоскость называют ком­плексной плоскостью. При такой интерпретации, (она наз-ся точечной) точками оси абсцисс изображаются действ. чис­ла.

Векторная интерпретация компл. чисел. Каждому компл. числу z=a+bi поставим в соответствие радиус-вектор координатной плоскости. Это соответствие является биекцией мн-ва всех компл. чисел на мн-во всех радиус- векторов плоскости.

Пусть z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i два компл. числа. Их сумма z₃=z₁+z₂= =(a₁+b₁i)+(a₂+b₂i)=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i. На рисунке можно увидеть, что сумме двух компл. чисел при векторной интерпретации соответствует сумма соответствующих этим числам векторов:

Можно показать аналогично, что разности чисел соответствует разность векторов.