Определение перемещений

1. Понятие о перемещениях

При воздействии нагрузки, температуры и других факторов сооружения меняют свою форму, а его точки получают перемещения.

Перемещение – векторная величина. Перемещение любой точки на плоскости можно задать через его модуль и направление. Например, вектор перемещения точки А рамы в точку А (рис. 6.1 а) определяется через его модуль _A и угол (направление) _A (рис. 6.1 б). А эти величины можно определять через горизонтальную и вертикальную составляющие x_A и y_A вектора перемещения :

_A= , _A=arc tg .

Поступательные перемещения _A, x_A, y_A будем называть линейными перемещениями, а _A – угловым перемещением.

Рис. 6.1

Методы определения перемещений основаны на определении работ внешних и внутренних сил. В механике рассматриваются два вида таких работ – действительные и возможные работы.

2. Действительные работы внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия

Действительным перемещением называется перемещение, вызванное силой по направлению ее действия (рис. 6.2 а). В упругих системах перемещение  прямо пропорционально действующей силе и поэтому выполняется закон Гука

 = P,

где коэффициент  называется податливостью.

Эту зависимость можно представить в виде диаграммы  –P (рис. 6.2 б).

Рис. 6.2

Действительной работой называется работа силы на ее действительном перемещении.

Действительную работу силы P можно найти по рис. 6.2 б:

W= .

Эта формула определяет теорему Клапейрона: сила, действующая на упругую систему, совершает работу, равную половине произведения силы на перемещение.

Если воспользоваться законом Гука, то

W=  0.

Отсюда следует, что внешняя сила совершает положительную работу.

Когда на систему действуют несколько сил, то по принципу суперпозиции

W= .

В идеально-упругой системе предполагается, что работа внешних сил W полностью переходит в потенциальную энергию деформации U:

W =U.

Если убрать внешние силы, упругая система возвратится в исходное положение. Эту работу совершают внутренние силы. Так как работа внешних сил W всегда положительна, то работа внутренних сил V будет отрицательной:

W=–V.

Определим работу внутренних сил плоской стержневой системы.

а) Работа продольной силы N

Пара продольных сил N, действующих на элемент dx, приводят к его чистому растяжению (рис. 6.3 а).

Рис. 6.3

По теореме Клапейрона эти силы на общей деформации элемента (действительном перемещении) _N совершают действительную работу

–dV_N= N·_N .

С учетом закона Гука при растяжении _N= получим

−dV_N= dx,

где E – модуль Юнга, F – площадь сечения, EF – жесткость на растяжение.

б) Работа изгибающего момента М

Пара изгибающих моментов M, действующих на элемент dx, приводят к его чистому изгибу (рис. 6.3 б). На общей деформации _M эти моменты совершают работу

–dV_M= M·_M .

По закону Гука _M= . Поэтому

–dV_M= dx ,

где I – момент инерции сечения, EI – жесткость на изгиб.

в) Работа поперечной силы Q

Действие пары поперечных сил Q приводит к чистому сдвигу элемента dx (рис. 6.3 в). На общей деформации _Q они совершают работу:

–dV_Q= Q·_Q .

По закону Гука, _Q= . Поэтому

–dV_Q= dx,

где  – коэффициент формы сечения, GF – жесткость на сдвиг.

Теперь воспользуемся принципом суперпозиции:

–dV=–(dV_M+dV_Q+dV_N)= dx.

Если проинтегрировать это выражение по всей длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим выражение потенциальной энергии всей стержневой системы:

U= –V= dx .