2 Математические модели непрерывных и дискретных линейных объектов и систем
13.11.2012
2.1 Математические модели линейных стационарных непрерывных элементов
Классификация, данная для систем автоматики, справедлива и для линейных элементов.
Рассмотрим элемент с двумя входами и одним выходом. Два входа – две входные величины, выход – одна выходная. Это наиболее интересующие переменные, от них зависит выходная величина интересуемой функции. Чтобы изучить поведение системы в разных условиях, задаются разным характером изменений входных величин, изменяются параметры и так далее.
Для изучения переходных процессов непрерывных линейных элементов часто используются обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами вида:
a, b, r – постоянные коэффициенты.
Система стационарная, т.к. в математической модели все коэффициенты являются постоянными. Если хотя бы один коэффициент будет зависеть от времени, то система станет нестационарной.
n – порядок элемента, порядок наивысшей производной, входящей в это дифференциальное уравнение. В реальных устройствах всегда выполняется условие, что m∙q ≤ n, в других случаях такой элемент будет нереализуем.
«Обыкновенное дифференциальное уравнение» – это значит, что тут нет частных производных.
m, q – порядки производных в правой части уравнения.
Уравнение 2.1 также служит основой для изучения поведения элемента в установившихся режимах. Математические модели для установившихся режимов намного проще, чем исходное уравнение для переходных процессов (это как бы объяснение «также»). Если установившийся режим является статическим, то из-за постоянства величин x1, x2 и y уравнение 2.1 преобразуется в уравнение статики вида:
К входным величинам не надо приписывать индекс «у». Все величины не зависят от времени.
Если в установившемся режиме входные и выходные величины изменяются по гармоническому закону с одной частотой, то дифференцируя выходную величину (находя производные порядков n, n-1 и так далее), можно получить соотношение для расчёта амплитуды и фазы переменной y в установившемся режиме. В этом соотношении будут фигурировать соотношения для амплитуды и фазы входных величин.
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиций: реакция системы на несколько одновременно приложенных воздействий равна сумме реакций системы на каждое воздействие в отдельности. В данном случае можно сначала рассмотреть реакцию на x1 (x2 приравнять к нулю), а потом реакцию на x2 (x1 приравнять к нулю), и потом суммировать.
Математическая модель системы, устройства, элемента иначе называют динамическим звеном. Для изучения и проектирования системы очень важно знать типовые динамические звенья, представляющие собой обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами первого и второго порядка. Они с одной стороны просты, а с другой стороны позволяют математически описывать поведение многочисленных устройств различной физической природы. Всё это есть в литературе, также была лабораторная. К основным типовым динамическим звеньям относятся:
1) Безынерционное звено.
2) Апериодическое звено 1-ого порядка.
3) Апериодическое звено 2-ого порядка.
4) Колебательное звено.
5) Идеальное дифференцирующее звено.
6) Идеальное интегрирующее звено.
7) Запаздывающее звено.
Приведём алгебраические дифференциальные уравнения, определяющие перечисленные динамические звенья.
1) Звено называется безынерционным, если между выходной и входной величиной имеется пропорциональная зависимость y = kx. Безынерционные звенья не могут накапливать энергию. Звено считают безынерционным, если его инерционность (постоянная времени), например, на два и более порядков меньше, чем у других звеньев, входящих в автоматическую систему. Примеры: рычаг, шестеренчатая передача, потенциометр, транзисторный усилитель.
Это линейное алгебраическое уравнение.
k – коэффициент передачи звена на всех частотах.
2) Апериодическое звено 1-ого порядка описывается дифференциальным уравнением первого порядка. Выходная величина в переходных режимах не мгновенно следует за изменениями входной, а постепенно, с конечной скоростью, поэтому это звено инерционное. Примеры: электрическая цепь R-L, электрический двигатель с возбуждением от постоянных магнитов и управляемый током якоря (двигатель, работающий в схеме ведущего стабилизатора ленты).
Т – постоянная времени.
k – коэффициент передачи на нулевой частоте.
3) Апериодическое звено 2-ого порядка описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Примеры: стабилизатор скорости движения киноленты, электрические преобразователи магнитоэлектрического типа (громкоговорители, зеркальные модуляторы света).
ξ – коэффициент затухания (демпфирования).
4) Колебательное звено имеет сопряжённые комплексные корни дифференциального уравнения. Временная характеристика колеблется в переходном процессе при приближении к установившемуся значению. Примеры: стабилизатор скорости движения киноленты, электрические преобразователи магнитоэлектрического типа (громкоговорители, зеркальные модуляторы света).
5) Идеальное дифференцирующее звено. Примеры: тахогенератор постоянного тока, работающий в режиме, близком к холостому ходу; операционный усилитель, работающий в режиме дифференцирования.
k – это коэффициент передачи для круговой частоты ω = 1 c-1 (потом проверить при выводе).
ω = 2πf (Гц).
6) Идеальное интегрирующее звено. Примеры: малоинерционный и слабо нагруженный электрический двигатель (I≈0), если выходной величиной является угол поворота.
k – это коэффициент передачи для круговой частоты ω = 1 c-1.
7) Запаздывающее звено. Они встречаются в звукотехнических системах, использующих магнитную запись и воспроизведение сигналов звука, системах регулирования температуры обрабатывающих растворов etc.
τ – время чистого запаздывания.
В идеальном, типовом запаздывающем звене k = 1.
В технической литературе широко используется символ производной:
Символ интегрирования:
Тогда в символическом виде уравнение из пункта 5 будет выглядеть:
