16. Понятие дифференцируемости функции. Связь дифференцируемости и непрерывности. Примеры. Дифференциал функции. Геометрический смысл. Инвариантность формы записи. Дифференциалы высших порядков.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение Δy в точке x₀ может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+o(Δx), Δx → 0

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀, то она непрерывна в этой точке (т.к функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции).

Дифференциалом функции y=f(x) в точке x₀ называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции в данной точке (A).

Геометрический смысл дифференциала: это приращение ординаты точки, лежащей на касательной, соответствующее приращению Δx.

17. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Геометрический смысл. Привести доказательство любой теоремы на выбор.

Теорема Ферма: пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и достигает на нём своего наибольшего или наименьшего значения в точке x₀. Тогда производная в этой точке равна нулю.

Теорема Ролля: пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на нём, а также принимает на концах отрезка одинаковые значения. Тогда на отрезке найдётся хотя бы одна точка x₀, в которой производная функции f(x) равна нулю.

Теорема Лагранжа: пусть функция y=f(x) непрерывна и дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на этом интервале найдётся хотя бы одна точка x₀, такая что f(x₀) = (f(b)-f(a)) / (b-a).

(Геометрический смысл: касательная в этой точке параллельна хорде, проходящей через концы отрезка).

Теорема Коши: если функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы на интервале (a, b), а также g'(x) отлична от нуля, то на интервале найдётся хотя бы одна точка x₀, такая что:

f(b)-f(a) / g(b)-g(a) = f'(x₀) / g'(x₀).

18. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Формула Тейлора. Разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена. Применение формулы Тейлора для вычисления пределов функций, значений функций.

Правило Лопиталя – раскрытие неопределенностей вида 0/0 и inf/inf.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки a (за исключением, может быть, самой точки a). lim f(x) = lim g(x) = 0 или inf при x → a. Тогда если существует предел отношения производных этих функций, то существует и предел отношения самих функций и эти пределы равны. lim f'(x)/g'(x) = lim f(x)/g(x) при x → a.

0000 100.jpg

19. Исследование функций с помощью производных. Возрастание и убывание функции. Необходимое, достаточное условие (доказательство). Примеры.

Функция f(x) называется возрастающей [убывающей] на X, если для любых x₁ и x₂ из X, которые соответствуют неравенству x₁ > x₂, выполняется f(x₁) > f(x₂). [f(x₁) < f(x₂)]

Функция f(x) называется невозрастающей [неубывающей] на X, если для любых x₁ и x₂ из X, которые соответствуют неравенству x₁ > x₂, выполняется f(x₁) <= f(x₂). [f(x₁) >= f(x₂)]

Если f'(x) > 0 [f'(x) < 0] на некотором промежутке X, то f(x) возрастает [убывает] на этом промежутке.

Доказательство:

f(x) – дифференцируема на X. Для данной функции выполняется условие теоремы о конечном приращении на некотором отрезке [x₁, x₂] прин. X.

f(x₂)-f(x₁) = f'(x₀)(x₂-x₁).

f'(x₀) = (f(x₂)-f(x₁)) / (x₂-x₁).

f'(x₀) > 0.

x₂ > x₁ ==> f(x₂) > f(x₁).