Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
matanaliz.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
1.23 Mб
Скачать

13. Комплексные числа. Комплексная плоскость. Способы задания комплексных чисел. Операции над ними. Формула Муавра. Понятие функции комплексного переменного. Формулы Эйлера.

Комплексным числом называется число Z вида: Z = (x, y) = x+iy, где x, y – действительные числа, а i – мнимая единица. x = Re Z, y = Im Z.

Запись x+iy является алгебраической формой записи комплексного числа.

Число x-iy называется сопряженным к числу x+iy.

Кроме алгебраического задания комплексного числа, существует так же тригонометрический способ задания: Z = p(cosφ + isinφ), где p – модуль числа Z (p = корень[x2+y2]), φ (или arg Z) – угол вектора комплексного числа по отношению к оси OX.

Операции:

Z1 + Z2 = (x1+x2, y1+y2) → (r1cosφ1+r2cosφ2) + i(r1sinφ1+r2sinφ2).

Z1 * Z2 = (x1x2-y1y2, x1y2+y1x2) → r1r2(cos(φ12) + isin(φ12)).

Z1 / Z2 = ( (x1x2+y1y2)/d, (x2y1-x1y2)/d ); d = x22+y22 → r1/r2 (cos(φ12) + isin(φ12)).

Zn = (x+iy)n → (a+b)n. Zn = Sum(k от 0 до n) Cnk * xn-k(iy)k.

Формула Муавра: Zn = rn(cos nφ+isin nφ).

Формулы Эйлера:

cosφ + isinφ = e Z = r(cosφ + isinφ) = re = elnr * e.

Комплексная плоскость это такая плоскость, точки которой интерпретируются как комплексные числа. При этом OX – действительная ось, а OY – мнимая ось.

14. Производная функции одной переменной. Геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования (привести доказательство одного из правил). Производные элементарных функций. Производная обратной функции. Производная сложной функции (сформулировать теорему и понятие сложной и обратной функции).

Производной функции f в точке x называется предел отношения её приращения Δy в этой точке к соответствующему приращению аргумента Δx, когда аргумент стремится к нулю.

f'(x) = lim Δyx при x → 0 = lim (f(xx)-f(x))x при x → 0

Δx = x-x0 – приращение аргумента.

Δf = f(x)-f(x0) – приращение функции, соответствующее приращению аргумента.

Геометрический смысл – тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) по отношению к положительному направлению оси OX.

Физический смысл – если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S(t), то чтобы найти скорость тела в момент времени t0, нужно найти значение производной функции S(t) в точке t0: V(t0) = S'(t0).

Правила дифференцирования:

1y12y2)' = α1y1' + α2y2'

(y1y2)' = y1' * y2 + y1 * y2'

(y1 / y2)' = (y1' * y2 - y1 * y2') / y22

Доказательство:

П роизводные элементарных функций:

C' = 0 (sinx)' = cosx (arcsinx)' = 1 / sqrt(1-x2)

(xn)' = nxn-1 (cosx)' = -sinx (arccosx)' = -1 / sqrt(1-x2)

(ax)' = axlna (tgx)' = 1/cos2x (arctgx)' = 1 / (1+x2)

(logax)' = 1/(xlna) (ctgx)' = -1/sin2x (arcctgx)' = -1 / (1+x2)

Производная обратной функции.

Если функция f(x) строго возрастает, непрерывна на интервале (a, b) и имеет в точке x0 конечную производную f'(x), не равную нулю, то обратная ей функция f-1(y) = g(y) имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством: g'(y) = 1/f'(x).

Производная сложной функции.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке x0, а функция z=g(y) имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция z=F(x)=g(f(x)) имеет производную в точке x0, причём F'(x0) = g'(y0) * f'(x0).

15. Производная функции одной переменной. Логарифмическое дифференцирование. Производная функции, заданной неявно. Производная функции, заданной параметрически. Производная векторной функции скалярного аргумента. Годограф. Производная длины дуги.

Производной функции f в точке x называется предел отношения её приращения Δy в этой точке к соответствующему приращению аргумента Δx, когда аргумент стремится к нулю.

f'(x) = lim Δyx при x → 0 = lim (f(xx)-f(x))x при x → 0

Δx = x-x0 – приращение аргумента.

Δf = f(x)-f(x0) – приращение функции, соответствующее приращению аргумента.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него.

f'(x) = f(x) * ln(f(x))'

Производная функции, заданной неявно.

F(x, y) – неявная функция. Для дифференцирования неявной функции нужно считать, что y – сложная функция, зависящая от x.

F(x, y(x)) = 0.

Производная функции, заданной параметрически.

{ x=f(t), y=g(t) }

Если функции f(t) и g(t) дифференцируемы в точке t0, кроме того f(t) непрерывна и строго монотонна в окрестности этой точки, и её производная не равна нулю, то функция y = g(t(x)) дифференцируема в точке x0 = x(t0), причём y'(x) = yt' * tx' = yt' / xt'.

Производная векторной функции скалярного аргумента.

Векторная функция это функция, значения которой являются векторами в векторном пространстве двух, трёх и более измерений.

r = r(t).

Предел функции r(t) в точке t0 это вектор r0, для которого выполняется следующее соотношение:

lim |r(t)-r0| = 0 при tt0.

Годограф.

Геометрическое место концов изменяющегося со временем вектора, значения которого в разные моменты времени отложены от общего начала О.

Производная длины дуги.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]