Тема 3. Симплексный метод в оптимизации экономических задач

Вопросы для изучения:

1. Экономическая сущность симплексного метода и область его применения в решении экономических задач

2. Методика отыскания оптимального решения симплекс-методом.

3. Двойственные экономические задачи и алгоритм их решения.

Литература: 1, 7.

1. Экономическая сущность симплекс-метода и область его применения в решении экономических задач.

Если задача линейного программирования содержит более двух переменных, то ее решение требует применения аналитического метода. Число допустимых решений можно сократить, если перебирать и анализировать не все возможные решения, а изучать изменение линейной функции.

Идея последовательного улучшения решения лежит в основе симплекс-метода. Геометрический смысл метода состоит в последовательном анализе и переходе от одной вершины многогранника ограничений к другой, в которой линейная функция принимает лучшее значение, и так до тех пор, пока не будет найдено оптимальное значение.

Симплекс-метод является универсальным. Для использования метода задача должна быть сведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна иметь вид уравнений.

2. Методика отыскания оптимального решения

Рассмотрим задачу оптимизации плана производства (задача 1 тема 2):

При x₁ ≥0 и x₂≥0

Суммарная прибыль

F =2x₁+3x₂ → max

С помощью дополнительных переменных перейдем от стандартного вида к каноническому:

Для нахождения базисного решения необходимо выделить 2 группы переменных:

- основные, т.е. такие m-переменных, каждая из которых входит только в одно из m-уравнений системы ограничений, при этом нет таких уравнений, в которые бы не входила ни одна из этих переменных. Коэффициенты основных переменных должны быть равны +1;

- не основные – все остальные переменные. Для реализации задачи симплекс-методом используют следующий алгоритм:

Первый шаг:

Основные переменные: х₃, х₄, х₅, х₆.

Неосновные переменные: х₁, х₂.

Bыразим основные переменные через неосновные:

Подчеркнутое уравнение является разрешающим уравнением для второго шага.

Неосновные элементы считаем равными 0: х₁=0, х₂=0, тогда базисное решение A₁(0;0;18;16;5;21). Это одно из возможных решений, но нельзя считать, что оно является оптимальным. Оно соответствует началу координат графика О (0;0)

Далее выражают функцию оптимизации через неосновные переменные:

F =2x₁+3x₂ → max

Для принятия решения важно проанализировать функцию F. Если есть хотя бы при одной переменной коэффициент К>0 в задаче на max, то рассматривают поведение функции F при увеличении значения соответствующей переменной.

Рассмотрим переменную х₂, , т.к. К=3>0, то при увеличении значения х₂ значение функции F возрастает, значит, решение А₁ не является оптимальным.

Можно рассматривать и переменную х₁, т.к. коэффициент при x₁ =2>0. Однако, при выборе анализируемой переменной оценивают коэффициент при ней. Как правило, чем выше коэффициент, тем менее трудоемкой является задача в своем решении.

Следовательно, рассматриваем переменную х₂, и она переходит из неосновных в основные. Геометрический смысл преобразований сводится к переходу к следующей вершине многогранника возможный решений, где значение функции становится лучшее.

Основная переменная должна иметь коэффициент К=1.

Для приведения системы ограничений в решаемый вид на следующем этапе для новой основной переменной, выражая ее из всех уравнений системы ограничений при условии, что все остальные переменные = 0.

Выбирают самый минимальный разрешающий коэффициент (х₂ = 5), который в нашем примере соответствует 3-ему уравнению. Тогда х₅ переходит в неосновные переменные. Уравнение, из которого была выражена переменная, называется разрешающим (х₅ = 5 - х₂).

Второй шаг:

Основные переменные: х₂, х₃, х₄, х₆.

Неосновные переменные: х₁, х₅.

Выразим новые основные переменные через неосновные, начиная с разрешающего уравнения:

Подставим вместо х₂ его выражение:

- разрешающее уравнение для 3 шага

Неосновные переменные приравниваются к 0: х₁ = 0 и х₅ = 0, тогда второе базисное решение А₂(0;5;3;11;0;21). Геометрически мы перешли к вершине А (0;5) в многоугольнике решений (Тема 2, раздел 2). Выразим функцию F через неосновные переменные:

F₂=2x₁+3x₂=2x₁+3(5-x₅)=2x₁+15-3x₅

При увеличении значения переменной х₁ значение функции F₂ будет увеличиваться, значит, решение А₂ не является оптимальным.

Найдем разрешающие коэффициенты для переменной х₁:

Выбираем самый минимальный разрешающий коэффициент x₁=3. Уравнение, из которого была выражена переменная (x₃ = 3 - x₁+ 3x₅) является разрешающим. Переменная x₃ переходит в неосновные переменные, а х₁ - в основные.

Третий шаг

Основные переменные: х₁, х₂, х₄, х₆.

Неосновные переменные: х₃, х₅.

- разрешающее уравнение 4-го шага

Базисное решение А₃ (3;5;0;5;0;12) соответствует вершина Е(3;5)

F₃=2x₁+3x₂=2(3-x₃+3x₅)+3(5-x₅)=21-2x₃+3x₅

При х₃ =0, х₅ = 0 значение F₃ = 21, что больше F₂ = 15 на 6.

Увеличивая значение х₅ значение функции будет также увеличиваться. Переведем х₅ в основные переменные.

Найдем разрешающие коэффициенты х₅:

- не может быть использован, т.к. x₅<0

Разрешающим уравнением является х₄ = 5 + 2х₃ - 5х₅, из которого .

Переменная х₄ переходит в неосновные.

Четвертый шаг

Основные переменные: х₁, х₂, х₅, х₆.

Неосновные переменные: х₃, х₄.

Базисное решение А₄ (6;4;0;0;1;3) соответствует вершине В (6;4)

Это выражение функции не содержит переменных с положительными коэффициентами. При х₃=0, х₄=0 значение F₄ является максимальным. Зная экономический смысл переменных, получаем, что максимальное значение прибыли – 24 руб. при реализации продукции А – 6 ед., продукции В – 4 ед. Дополнительные переменные х₃, х₄, х₅, х₆ показывают разницу между запасами ресурсов каждого вида и их потреблением на производство продукции А и В, т.е. остатки ресурса S₁=0, S₂=0, S₃=1, S₄=3 ед.

Таким образом, задачу на максимум решают до тех пор, пока в выражении линейной функции через неосновные переменные останутся отрицательные коэффициенты при неосновных переменных.

При отыскании минимума функции возможны 2 варианта:

1. отыскивать максимум функции, учитывая, что Z_min= - F_max;

2. на каждом шаге рассматривать неосновные переменные, при которых стоят отрицательные коэффициенты, т.к. увеличивая значения этих переменных, значение функции будет уменьшаться, т.е. постепенно стремиться к min.

Критерием оптимальности при отыскании min функции является следующее правило:

Если в выражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при неосновных переменных, то решение является оптимальным.

При решении задачи симплекс-методом не всегда возможно сразу выделить допустимое базисное решение.

Например:

F=x₁+2x₂ → max

x₁ ≥ 0 и x₂ ≥ 0.

Решение:

1. Вводим дополнительные переменные:

2. Выделим основные переменные х₃, х₄, х₅ неосновные переменные х₁, х₂

3. Выразим основные переменные через неосновные:

Базисное решение А₁ (0;0;-1;3;3) является недопустимым, т.к. х₃< 0.

В таком случае в системе уравнений выбирают то уравнение, которое содержит отрицательный свободный член (х₃= -1 - х₁ + х₂).

Необходимо увеличить значение х₃. Это возможно за счет увеличения переменных, входящих в уравнение с положительным коэффициентом (+х₂).

При х₂ =1 и х₃ =0. Тогда х₃ станет неосновной, х₂ - основной переменными.

Найдем разрешающий коэффициент для переменной х₂

x₂=min{1;3}=1

Тогда уравнение x₃= -1 + x₂ – x₁ является разрешающим

На втором шаге основными переменными станут х₂, х₄, х₅, а неосновными х₁, х₃.

Базисное решение А₁(0; 1; 0; 2; 3) является допустимым

F=x₁+2x₂=x₁+2(1+x₁+x₃)=2+3x₁+2x₃, и т.д.

Бывают задачи, когда допустимое базисное решение возникает со 2, 3 и т.д. шагов.

Если базисное решение является недопустимым и для его улучшения есть возможность выбора переменной, то рекомендуют выбрать такую неосновную переменную, которая определит в качестве разрешающего то уравнение системы, где содержится отрицательный свободный член, и перевести в основные ту неосновную переменную, которая в это уравнение входит с положительным коэффициентом.

Если базисное решение недопустимое, а в уравнении, содержащем отрицательный свободный член, отсутствует неосновная переменная с положительным коэффициентом, то допустимое базисное решение получить невозможно, т.к. условия задачи являются противоречивыми.

При решении экономических задач симплекс-методом могут возникнуть ситуации, когда оптимальное решение будет неединственным (альтернативным), или конечный оптимум может отсутствовать. В первом случае, выбор оптимального варианта зависит от эксперта, принимающего решения, во - втором случае необходимо задать дополнительные условия – ограничений для принятия решения.