2.Задача о распределении средств
Применение уравнений Беллмана возможно при распределении средств. Пусть планируются на очередной год деятельность четырех фирм. Начальный капитал S0 равен 5 у.е. Средства Х, выделенные k-той фирме (к=1,2,3,4), приносят головному предприятию в конце года определенную прибыль fk(x)
х |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
1 2 3 4 5 |
8 10 11 12 18 |
6 9 11 13 15 |
3 4 7 11 18 |
4 6 8 13 16 |
Прибыль fk(x) не зависит от вложения средств в другие фирмы. Суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждой дочерней фирмы. Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль головного предприятия была наибольшей.
Решение:
1. Целевая функция:
2. Строим систему ограничений:
3. Решение можно рассматривать как 4-шаговый процесс, где номер шага совпадает с номером фирмы. S0=5; , т.к. все средства должны быть распределены
Построим схему распределения средств:
Тогда Sk=Sk-1-Xk, где Sk - количество средств, оставшихся после предыдущего распределения.
Условная оптимальная прибыль, полученная от k-того предприятия:
Расчеты сведем в таблицу с учетом того, что 4-тому предприятию целесообразно распределить все оставшиеся деньги после 1-3 предприятий
Sk-1 |
Xk |
Sk= Sk-1-Xk |
k=3 |
k=2 |
k=1 |
||||||
Z3(S2) = f3(X3) + Z4'(S3) |
Z3' (S2) |
X3' (S2) |
Z2(S1) = f2(X2) + Z3'(S2) |
Z2' (S1) |
X2' (S1) |
Z1(S0) = f1(X1) + Z2'(S1) |
Z1' (S0) |
X1' (S0) |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 1 |
1-0=1 1-1=0 |
0+4=4 3+0=3 |
4 |
0 |
0+4=4 6+0=6 |
6 |
1 |
0+6=6 8+0=8 |
8 |
1 |
2 |
0 1 2 |
2-0=2 2-1=1 2-2=0 |
0+6=6 3+4=7 4+0=4 |
7 |
1 |
0+7=7 6+4=10 9+0=0 |
10 |
1 |
0+10=10 8+6=14 10+0=10 |
14 |
1 |
3 |
0 1 2 3 |
3-0=3 3-1=2 3-2=1 3-3=0 |
0+8=8 3+6=9 4+4=8 7+0=7 |
9 |
1 |
0+9=9 6+7=13 9+4=13 11+0=11 |
13 |
1 2 |
0+13=13 8+10=18 10+6=16 11+0=11 |
18 |
1 |
4 |
0 1 2 3 4 |
4 3 2 1 0 |
0+13=13 3+8=11 4+6=10 7+4=11 11+0=11 |
13 |
0 |
0+13=13 6+9=15 9+7=16 11+4=15 13+0=13 |
16 |
2 |
0+16=16 8+13=21 10+10=20 11+6=17 12+0=12 |
21 |
1 |
5 |
0 1 2 3 4 5 |
5 4 3 2 1 0 |
0+16=16 3+13=16 4+8=12 7+6=13 11+4=15 18+0=18 |
18 |
5 |
0+18=18 6+13=19 9+9=18 11+7=18 13+4=17 15+0=15 |
19 |
1 |
0+19=19 8+16=24 10+13=23 11+10=21 12+6=18 18+0=18 |
24 |
1 |
Оптимальное распределение денежных средств: Х'(1;2;1;1), максимальный размер прибыли Zmax=24 y.e.
Достоинством метода является возможность решения задачи при изменившихся условиях. Пусть произошло сокращение денежных средств с 5 у.е. до 4 у.е., тогда Zmax=21 y.e. и Х'(1;1;1;1) или Х'(1;2;0;1)
Если произошло увеличение денежных средств, то добавляют необходимое число строк, если сокращается число объектов вложений – анализируется соответствующее число столбцов (например, при распределении 5 у.е. между 3 предприятиями Zmax=19 y.e., x'(1;0;4).