2. Порядок, правила построения сетевых графов. Сущность и области применения сетевого метода анализа и планирования. Основные элементы.

При построении сетевого графика необходимо соблюдать ряд правил:

1. не должно быть «тупиковых» событий, за исключением завершающего события;

2. не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа, кроме исходного события;

3. не должно быть замкнутых контуров, т.е. путей, соединяющих событие само с собой;

4. любые два события должны быть связаны не более чем одной работой – стрелкой. Если возникает необходимость выполнения параллельной работы, то рекомендуют ввести дополнительное фиктивное событие и фиктивную работу, обозначенную пунктиром.

5. в сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее событие

Рассмотрим сетевой график на примере:

Пусть при составлении какого-либо проекта выделено 12 событий и 24 работы. Необходимо составить сетевой график:

Далее проводят упорядочение графика. Упорядочение заключается в таком расположении событий и работ, при котором для любой работы предшествующее ей событие расположено левее и должно иметь меньший номер по сравнению с завершающим эту работу событием.

Для упорядочения графика его разбивают на несколько вертикальных слоев, в первом помещают начальное событие, в последнем – завершающее.

Поместив в первом слое начальное событие 0, мысленно вычеркиваем его из графика и все выходящие из него работы. Тогда без входящих стрелок останется событие 1 (второй слой). Вычеркиваем событие 1 из графика и все выходящие из него стрелки, получим без стрелок события 2,4 (слой 3). При этом события, попадающие в один слой, не должны быть связаны между собой работой. После упорядочения графика проводят перенумерацию событий так, чтобы события предшествующего слоя имели нумерацию меньше, чем события последующего слоя. Это события 3,6,9.

Порядок нумерации событий, расположенных в одном слое, принципиального значения не имеют, поэтому нумерация одного и того же графика может быть разной. Тогда упорядоченный график будет иметь следующий вид:

Укажем над работами, отмеченными на графике стрелками, условную трудоемкость их выполнения. Это необходимо для целей дальнейшей оптимизации сетевого графика.

3. Методика экономического анализа критического пути

Путь – это любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Выделяют полный путь – любой путь, начало которого совпадает с исходным событием, а конец с завершающим. Наиболее продолжительный полный путь называют критическим путем. Критическими называют работы и события, расположенные на критическом пути.

Для определения критического пути на графике указывают продолжительность работы.

Исходя из данных примера продолжительность критического пути равна 61 дню, т.е. для достижения цели понадобится 61 день и быстрее комплекс работ пока выполнить нельзя. Критическими событиями являются 0,3,5,6,9,10,11. Для целей оптимизации определение критического пути указывает на необходимость сокращения продолжительности работ, лежащих на критическом пути.

Однако, сетевой график выполняется без учета масштаба времени, что затрудняет определение выполняемых работ в заданный период времени. Для этих целей строят линейную диаграмму проекта.

При построении линейной диаграммы каждая работа изображается отрезком, параллельным оси времени, длина которого равна продолжительности работы. Отрезки располагаются один над другим снизу вверх в порядке возрастания индекса i, а при одном и том же индексе i – в порядке возрастания индекса j.

Рис. Линейная диаграмма выполнения проекта

Основным правилом построения линейной диаграммы является то, что событие не может наступить ранее, чем свершаться все предшествующие ему работы

Для анализа критического пути рассчитывают ряд показателей.

1. Ранний срок (t_p(i)) свершения i-того события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующему этому событию:

где L_ni – любой предшествующий i –тому событию путь.

Если событие имеет несколько предшествующих путей, то ранний срок находят по формуле:

При определении t_p(i)

Например: движутся по сетевому графику слева на право. Из нашего сетевого графика:

1. i=0 (нулевое событие) t_p(0)=0

2. i=1 t_p(1)=t_p(0)+t(0,1)=0+8=8 суток

3. i=2 t_p(2)=t_p(1)+t(1,2)=8+9=17 суток

4. i=3 суток

5. i=4 суток

2. Поздний срок t_n(i) свершения i – того события равен:

где L_ci – любой путь, следующий за i-тым событием до завершающего события.

Если событие имеет несколько последующих путей и несколько последующих событий j, то поздний срок находят по формуле:

При определении t_n(i) движения по сетевой графики справа налево

Например:

1. i=11 t_n(11)=t_p(11)=t_kp=61 (сутки)

2. i=10 t_n(10)=t_n(11) – t(10, 11)=61-13=48 (суток)

3. i=9 =42 (суток)

4. i=8 t_n(9)-t(8, 9)=42-4=28 (суток) и т.д.

3. Резерв времени R(i) i -того события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

Резерв времени указывает на допустимый период времени, в течении которого можно задержать наступление i-того события без увеличения срока выполнения всего комплекса работ

Например:

№ п/п	Сроки совершения события. сутки		Резерв времени, R(i) сутки
	Ранний tp(i)	Поздний tn(i)
0 1 2 3 4 и т.д.	0 8 17 13 23	0 9 40 13 26	0 1 23 0 3

Таким образом, длина критического пути равна раннему сроку наступления завершающего события сети и критические события не имеют резервов времени, т.к. любая отсрочка в свершении критического события вызовет изменение сроков реализации проекта.

4. Параметры работ

Работа может начаться и окончиться в ранние, поздние и промежуточные сроки.

Ранний срок начала работы (i,j) совпадает с ранним сроком наступления предшествующего события i.

Например:

t_pн(1, 4)=t_p(1)=8

t_pн(i, j)=t_p(i)

Ранний срок окончания работы (i, j) :

Например:

t_pо(1,4)= t_p(1)+t(1, 4)=8+6=14

t_pо(i, j)=t_p(i)+t(i, j)

Поздний срок окончания работы (i, j):

Например:

t_nо(1, 4)=t_n(4)=26

t_nо(i, j)=t_n(j)

Поздний срок начала работы (i, j):

Например:

t_пн(1, 4)=t_n(4)-t(1,4)=26-6=20

t_пн(i, j)=t_n(j)-t(i, j)

Таким образом работа (1,4) должна начаться в интервале [8;20] и кончиться [14;26].

5. Резерв времени пути R(L) определяется как разность между длиной критического пути и рассматриваемого пути. Любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с критическим путем, обладает резервом времени.

Различают 4 вида резервов:

1. Полный резерв времени R_n(i,j) работы (i,j) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, сто срок выполнения комплекса работ не изменится.

Например:

R_n(1,4)=t_n(4)-t(1)-t(1,4)=26-8-6=12 (суток)

R_n(i,j)=t_n(j)-t_p(i)-t(i,j) 3

При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящих через нее, будут полностью исчерпаны. Резервы времени работ, лежащих не на максимальном пути, проходящих через эту работу, сократятся на величину использованного резерва.

Так через работу (1,4) проходит несколько путей разной продолжительностью

Т.е., если увеличить продолжительность работы t(1,4) на 12 суток, т.е. с 6 до 18 суток, то полностью будет исчерпан резерв времени пути L4 и этот путь станет критическим, а резервы времени других путей уменьшаться на 12 суток.

2. Частный резерв времени первого вида R₁ работы (i, j) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события.

R₁(i,j)=t_n(j)-t_n(i)-t(i,j) или R₁(i,j)=R_n(i,j)-R(i)

Например:

R₁(1,4)=t_n(4)-t_n(1)-t(1,4)=26-9-6=11 суток или R₁(1,4)=12-1=11 суток.

Т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта может быть задержано выполнение работ (1,4) и последующих работ любого из путей, проходящих через работу (1,4), без затрат резерва времени предшествующих ей работ.

3. Частный резерв времени второго вида (свободный резерв времени) R_c работы (i, j) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события

R_c(i, j)=t_p(j)-t_p(i)-t(i, j)

R_c(i, j)=R_n(i,j)-R(j)

Например:

R_c(1,4)=t_p(4)-t_p(1)-t(1,4)=23-8-6=9 суток

Т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта может быть задержано выполнение работы (1,4) и предшествующих ей работ на 9 суток без нарушения резерва времени последующих работ.

Свободный резерв является страховым, т.е. если планировать выполнение работ по ранним срокам, то в случае непредвиденных обстоятельств можно перейти на поздние сроки выполнения работ, не изменяя в целом сроков реализации проекта.

4. Независимый резерв времени R_H работы (i, j) – это часть полного резерва времени, получаемом для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки

R_H(i, j)=t_p(j)-t_n(i)-t(i, j) или R_H(i, j)=R_n(i, j)-R(i)-R(j)

Например:

R_H(1,4)=t_p(4)-t_n(1)-t(1,4)=23-9-6=8 суток

Т.е. на 8 суток может быть увеличена продолжительность работы (1, 4) без изменения резервов времени всех остальных работ.

Независимый резерв используют тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в последний срок, а последующая работа планируется для исполнения в ранние сроки.

Если ,то независимый резерв есть

Если - резерва нет, т.к. предыдущая работа еще не закончилась, а последующая работа уже должна начаться.

Независимый резерв имеет лишь работы, не лежащие на критическом пути. Работы лежащие на критическом пути, резервов времени не имеют вообще при фиксированном сроке выполнения проекта.

В случае простых сетевых моделей результата анализа временных параметров отражают на графике.

Или отображают в таблице:

№ п/п	Работа (i, j)	Продолжительность работы	Сроки начала и окончания работы				Резервы времени работы
			tpн (i,j)	tpo (i,j)	tпн (i,j)	tno (i,j)	Rn (i,j)	R1 (i,j)	RC (i,j)	RH (i,j)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

После нахождения критерия пути, резервов времени работ необходимо провести оптимизацию модели.

Определить степень трудности выполнения в срок работ некритического пути можно с помощью коэффициента напряженности работ.

Коэффициентом напряженности К_н работы (i,j) называют отношение продолжительности несовпадающих (заключенных между одними и теми же событиями) отрезков пути, одним из которых является путь максимальной продолжительности, проходящей через данную работу, а другим - критический путь

,

где t(L_max) – продолжительность максимального пути, проходящего через работу (i,j);

t_kp – длина критического пути;

-продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем.

или

где R_n(i,j) – полный резерв времени работы (i,j)

Например:

Найти коэффициент напряженности для работы (1,4). Из решения ясно, что t_kp=61день.

Определим максимальный путь, проходящий через работу (1,4):

Его продолжительность: t(L_max)=t(L₄)=49 дней

Максимальный путь L4 совпадает с критическим путем на отрезке

Тогда чем ближе K_H (i;j) к 1, тем сложнее выполнить работу в установленные сроки. Чем ближе К_H (i,j) к 0, тем больше имеется реальных резервов в оптимизации пути, проходящего через данную работу.

В связи с разными значениями К_H(i,j) вычисляют в сети 3 зоны:

1. критическая (К_H(i,j) > 0,8)

2. подкритическая ( )

3. резервная (К_H(i,j) < 0,6).

В приведенной выше методике расчета показателей анализа сетевого графика предполагалось, что время выполнения работы известно. На практике чаще всего время работы является неопределенным. Для его определения возможны несколько путей:

• технолог (руководитель) может выдвинуть предположение на основе экспертных методов о времени выполнения каждой работы;

• на основе использования элементов теории вероятностей.

При вычислении ожидаемого времени выполнения работы выделяют оптимистический срок (a(i,j)) и пессимистический срок (b(i,j))

Где m – наиболее вероятное время выполнения работы

Ожидаемая продолжительность работы определяется по формуле:

Дисперсия ожидаемой продолжительности:

дисперсия ожидаемого времени выполнения проекта в целом определяется как сумма дисперсий критических работ

4. Оптимизация сетевого графика

Оптимизация сетевого графика представляет собой процесс улучшения организации комплекса работ с учетом срока их выполнения. Оптимизация проводится с целью:

• сокращения длительности критического пути;

• выравнивания коэффициентов напряженности работ;

• рационального использования всех видов ресурсов.

Сокращение продолжительности работ, находящихся на критическом пути, достигается за счет:

• перераспределения всех видов ресурсов из зон менее напряженных в зоны, объединяющие наиболее напряженные работы. К ресурсам относятся:

b(i,j)

t(i,j)

a(i,j)

а) временные – при использовании ресурсов времени некритических работ;

б) трудовые;

в) материальные;

• сокращение трудоемкости выполнения критических работ за счет передачи части работ на другие пути, имеющие резервы времени, либо с привлечением более квалифицированных специалистов;

• параллельного выполнения работ критического пути;

• изменения состава работ и, следовательно, изменение структуры графика.

В процессе сокращения длины критического пути возникает новый критический путь, который тоже может быть оптимизирован до получения удовлетворительных результатов.

Однако при таком подходе учитывается лишь временной фактор оптимизации. Для решения экономических задач важна и оценка стоимости работ.

Поэтому выделяют задачу:

• частной оптимизации, когда минимизируют время выполнения комплекса работ при заданной его стоимости (например: строительство «под ключ»); или минимизируют стоимость комплекса работ при заданном времени выполнения проекта;

• комплексной оптимизации, когда определяют оптимальное соотношение стоимости и сроков выполнения проекта.

Условные обозначения:

A(i,j) – минимально возможное время выполнения работы;

b(i,j) – нормальная продолжительность работы;

С_min(i,j) – стоимость работы при нормальной ее продолжительности;

С_max(i,j) – стоимость работы при минимальной продолжительности работы.

тогда

Изменение стоимости работы при сокращении ее продолжительности определяется:

,

где h(i,j) – дополнительные затраты, связанные с ускорением выполнения работы.

Частная оптимизация

При использовании метода «время-стоимость» предполагают, что снижение сроков выполнения работ пропорционально возрастанию их стоимости.

Наиболее часто используется следующий алгоритм оптимизации:

• продолжительность каждой работы, имеющий свободный резерв времени Rc(i,j), увеличивает до тех пор, пока не будет почерпан резерв Rc(i,j) или пока не будет достигнуто верхнее значение продолжительности работы b(i,j);

• рассчитывают уменьшение (увеличение) стоимости проекта:

Для проведения оптимизации кроме продолжения работ t(i,j) необходимо знать их граничные значения a(i,j), b(i,j), а также показатели затрат на ускорение работ k(i,j). При этом продолжительность каждой работы t(i,j) целесообразно увеличить на величину такого резерва, чтобы не изменить ранние ожидаемые сроки наступления всех событий сети, т.е. на величину Rc(i,j).

Условные обозначения:

A(i,j) – минимально возможное время выполнения работы;

b(i,j) – нормальная продолжительность работы;

Сmin(i,j) – стоимость работы при нормальной ее продолжительности;

Сmax(i,j) – стоимость работы при минимальной продолжительности работы.

Тогда

Изменение стоимости работы при сокращении ее продолжительности определяется:

где h(i,j) – дополнительные затраты, связанные с ускорением выполнения работы.

Например:

провести частичную оптимизацию сетевого графика (включаются только работы, имеющие резервы)

№ п/п	Работа	Продолжительность работы, сутки			Свободный резерв Rc(i,j).	Стоимость работ V(i,j).	h(i,j)	Уменьшение стоимости проекта	Продолжительность работы после оптимизации
1	(0,5)	5	9	14	11	60	8	5∙8=40	14=9+5
2	(1,4)	4	6	10	9	28	4	4∙4=16	10=6+4
3	(1,3)	3	4	6	1	37	12	1∙12=12	5=4+1
4	(2,7)	2	2	7	13	86	6	4∙6=24	7=3+4
	Итого				694			293

Первоначальная стоимость равна сумме стоимости всех работ, включая работы не имеющие резервов: С=1216(у.е.), в т.ч. стоимость работ, имеющих резервы, равна 694 у.е.

Тогда возможное изменение стоимости проекта при использовании свободного резерва составит 293 у.е., и стоимость после частной оптимизации составит:

Построим новый сетевой график после частной оптимизации.

После оптимизации появились новые критические пути t_kp=61 (сутки):

Всего 28 путей из 64.

Таким образом, если бы верхние границы продолжительности всех работ позволили бы полностью использовать свободный резерв времени всех работ, то в оптимизированном сетевом графике все полные пути были бы критическими (идеальный вариант).

Итак, в результате оптимизации проект может быть выполнен в срок 61 сутки при минимальной его стоимости 923 у.е.

Комплексная оптимизация

Если необходимо в процессе оптимизации сократить сроки выполнения проекта, то стоимость работ возрастает. В таким случае определяют оптимальное соотношение между стоимостью проекта С и продолжительностью его выполнения t=t_kp. Для этого необходимо:

1. Найти все полные пути сетевого упорядоченного графика и выделить критический путь;

2. Определить максимально возможные величины уменьшения продолжительности работ ;

3. Из работ критического пути выбирают работу, имеющую наименьший коэффициент затрат на ускорение k(i,j);

4. Сокращают продолжительность работы, определенной в п.3, на величину

5. Определить увеличение стоимости выполнения проекта и новую стоимость

6. Определяют новые длины всех полных путей, выделяют новые критические пути;

7. Реализуют указанный алгоритм с п.2 по п.6 до тех пор, пока не будут исчерпаны все резервы;

8. Строят график зависимости стоимости проекта C(t) от продолжительности его выполнения.

Например:

С помощью графика возможно определить:

• минимальную стоимость проекта при любом возможном сроке его выполнения;

• предельную продолжительность выполнения проекта при заданной его стоимости;

• дополнительные затраты, связанные с сокращением сроков выполнения проекта (сокращение срока выполнения проекта с 40 до 30 дней потребует дополнительных затрат 20 у.е. (200-180=20))

Если зависимость между стоимостью и продолжительностью работ имеет линейный вид, то построение оптимального сетевого графика может быть осуществлено методами линейного программирования, где минимизировалась бы стоимость работ при ограничениях:

• продолжительность каждой работы должна находиться в пределах:

• продолжительность любого полного пути не должна превышать установленного срока выполнения проекта.

При оптимизации сетевого графика возможен учет потребностей в различных видах ресурсов – трудовые ресурсы, оборудование, сырье, производственные площади и др. В качестве критерия можно выбрать:

• максимальное использование ресурсов:

• минимизацию максимальных потребностей в ресурсах;

• минимизацию максимальных изменений в потребностях ресурсов и другие