26. Непрерывность обратной функции на отрезке.

Определение 2.Функция f(x), определенная на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго

убывающей), если для любых двух чисел x₁∈ X, x₂∈ X таких, что

( x₁< x₂, выполняется неравенство f(x₁) < f(x₂)

f(x₁) > f(x₂)

Определение 3. Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной.

Лемма 1.Пусть функция f(x) строго возрастает (убывает) на некотором множестве X ⊂ R и пусть Y - множество ее значений. Тогда обратная функция f⁻¹является однозначной строго возрастающей (убывающей) функциейна множестве Y.

Теорема 6.Пусть функция f(x) определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке [a; b]; тогда

обратная функция f⁻¹определена, однозначна, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке с концами вточкахf(a), f(b).

Доказательство. Пусть f(x) строго возрастающая функция и c = f(a), d = f(b). Покажем, что областью определения обратной функции f⁻¹ является отрезок [c; d]. В самом деле, из возрастания функции f(x) следует, что f(a) ≤f(x) ≤f(b), т.е. что f(x) ∈ [c; d], ∀ x∈ [a;b]. С другой стороны, каково бы ни было y ∈ [c; d], согласно теореме 5, существует такая точка x ∈ [a; b], что f(x) = y. Таким образом, все значения заданной функции f(x) лежат на

отрезке [c; d], и каждая точка этого отрезка является значением функции f(x) в некоторой точке. Это и означает, что отрезок [c; d] является множеством значений функции f(x).

В силу леммы 1, функция f⁻¹ однозначна и строго возрастает на отрезке [c; d].

Покажем, что функция f⁻¹ непрерывна на [c; d]. Пусть y₀ ∈ [c; d], x₀ = f⁻¹(y0), и c < y0 < d, т.е. y0 – внутренняяточка отрезка [c; d]. Тогда, в силу строгого возрастания функции f⁻¹, и a < x0 < b. Зафиксируем некоторое ε >0. Неограничивая общности рассуждений, можно считать, что ε таково, чтоa ≤x0 − ε < x0 < x0 + ε ≤b. (2.8)

Пусть y₁ = f(x0 − ε), y₂ = f(x0 + ε). Тогда из условия (2.8), в силу строгого возрастания функции f(x), следует,что c ≤y1 < y0 < y2 ≤d. Возьмем δ >0 так, чтобы y1 ≤y0 − δ < y0 + δ ≤y2. Если теперь выбрать y так, чтоy0 − δ < y < y0 + δ, то, тем более y1 < y < y2, и следовательно, в силу строгого возрастания функции f⁻¹, справедливонеравенство

x0 − ε = f⁻¹(y₁) < f⁻¹(y) < f⁻¹(y2) = x0 + ε.

Таким образом, для ε >0 указано такое δ >0, что для всех y ∈ (y0 − δ; y0 + δ) выполняется неравенство

|f⁻¹(y) − f⁻¹(y0)| < ε,

т.е. функция f⁻¹ непрерывна в точке y0. Если теперь y0 = c или y0 = d, то аналогичными рассуждениями доказывается,

что функция f⁻¹ непрерывна справа в точке c и непрерывна слева в точке d.

27. Непрерывность обратной функции на интервале.

Определение 2.Функция f(x), определенная на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго

убывающей), если для любых двух чисел x₁∈ X, x₂∈ X таких, что

( x₁< x₂, выполняется неравенство f(x₁) < f(x₂)

f(x₁) > f(x₂)

Определение 3. Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной.

Лемма 1.Пусть функция f(x) строго возрастает (убывает) на некотором множестве X ⊂ R и пусть Y - множество ее значений. Тогда обратная функция f⁻¹является однозначной строго возрастающей (убывающей) функцией на множестве Y.

Теорема 7.Пусть функция f(x) определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на интервале (a; b) (конечном

или бесконечном) и пусть c =

Тогда обратная функция f⁻¹определена, однозначна, строго

возрастает (убывает) и непрерывна на интервале (конечном или бесконечном) с концами c и d.

Доказательство. Пусть для определенности функция f(x) строго возрастает в интервале (a; b). Покажем, что в этом случае множеством ее значений является интервал (c; d). Действительно, согласно теореме о пределах монотонных функций, имеем c = inff(x), d = supf(x) и, следовательно, для любого x ∈ (a; b) справедливо неравенство c ≤f(x) ≤d.

Более того, для всех x ∈ (a; b) выполняются еще неравенства f(x) ̸= c, f(x) ̸= d. В самом деле, если бы, например, существовало такое x0, что a < x0 < b и f(x0) = c, то при a < x < x0 выполнялось бы неравенство f(x) < f(x0) = c, что противоречило бы тому, что c = inff(x). Итак, для всех x ∈ (a; b) выполняются неравенства c < f(x) < d. С другой стороны, c = inff(x), d = supf(x), поэтому для любого y, c < y < d, существуют такие x1 ∈ (a; b) и x2 ∈ (a; b), что y1 = f(x1) и y2 = f(x2) удовлетворяют неравенствам c < y1 < y < y2 < d.Отсюда следует, что x1 < x2, и поскольку f(x1) = y1 и f(x2) = y2, по теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывных функций, существует такая точка x ∈ [x1; x2], что f(x) = y (случай x1 >x2 невозможен, так как тогда в силу возрастания функции f(x)

выполнялось бы неравенство y1 >y2). Таким образом, для любой точки y ∈ (c; d) существует такая точка x ∈ (a; b), что

f(x) = y.

Тем самым доказано, что множеством значений функции f(x) является интервал (c; d). То, что функция f⁻¹ одно-

значна и строго монотонно возрастает в интервале (c; d), следует из леммы.