21. Непрерывность ф-ции в точке.

Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связывают с такой функцией, график которой — непрерывная линия.Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если для любого заданного числа ε > 0 можно найти такое число δ = δ(ε, x₀) > 0, что для всех x, для которых |x − x₀| < δ, будет выполняться неравенство|f(x) − f(x₀)| < ε, или:∀ε > 0 ∃δ = δ(ε, x0) > 0 :∀x |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − f(x₀)| < ε.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ если для любой числовой последовательности {x_n}такой, что x_n=x₀ будет f(x_n) = f(x₀). Так как x − x₀ = x – приращение аргумента, а f(x) − f(x₀) = y – приращение функции в точке x₀, то:

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функции y, т.е. y= 0. В некоторых случаях приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности. Определение 4. Функция f(x), определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки x0 называется непрерывной слева (справа) в точке x₀, если существует предел слева (справа) функции y = f(x) и он равен f(x₀). Другими словами:

f(x) непрерывна справа в точке x0 ⇒∃ f(x) = f(x0);f(x) непрерывна слева в точке x0 ⇒ ∃ f(x) = f(x0). Из определения односторонней непрерывности в точке x₀ и свойств предела функции следует:

Теорема 1. Функция f(x), определенная в некоторой δ-окрестности точки x₀, непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.

22.Точки разрыва функции.

Определение 5. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполняются следующие три условия:

1. функция f(x) определена в точке x₀, т.е. x₀∈ D(f)

2. существует

3. =f(x₀)

Если в точке x₀ нарушено хотя бы одно из условий 1)-3), то функция называется разрывной в точке x₀, а точка x₀ - точкой разрыва.

Различают следующие случаи:

I) если условие 2) определения 5 выполнено и при этом x₀ D(f) или f(x₀) II) если условие 2) определения 5 нарушено, т.е. не существует но при этом существуют два конечных односторонних предела f(x) = f(x₀ -0), f(x) = f(x₀+0), не равные друг другу, то точка x₀ называется точкой разрыва первого рода, а разность f(x₀ + 0) − f(x₀ − 0) – скачком функции f(x) в точке x₀;

III) если хотя бы один из односторонних пределов равен + или − или вообще не существует, то точка x₀ называется точкой разрыва второго рода.Таким образом, при исследовании функции на непрерывность необходимо проверить выполнение условий определения 5. Если точка разрыва, то для установления характера разрыва необходимо вычислить односторонние пределы.

23. Предел композиции (сложной функции). Непрерывность композиции функций.

Теорема 11. Пусть f : X → Y , f(X) = Y , g : Y → иy₀= , y₀= =c Если существует проколотая окрестность (x₀) точки x₀, что f(x) y₀∀x∈ (x₀), то

доказательство. Имеем

Так как по условию f(x) = y₀ в некоторой (x₀), то

Так же имеем

Т огда в итоге