17. Односторонние пределы.

Определение 5. Число y₀ называется левосторонним пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого ε >0существует δ >0, такое, что и обознается .

Определение 6. Число y₀ называется правосторонним пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого ε> 0

существует δ> 0, такое, что ∀x∈Vδ(x₀ + 0) ⇒ |f(x) − y₀| <ε и обозначается .

Теорема 12. Чтобы функция f(x) в точке x0 имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она имела оба одно-

сторонних предела равных между собой. Тогда общее значение этих односторонних пределов равно пределу функции

f(x) в точке x₀.

Док-во:Необходимость. Пусть.

Но тогда имеем, что будет справедливо и

и . Аналогично . Достаточность. Пусть

и

Обозначимδ=min{δ₁,δ₂}. Тогда из –δ< следует, что 0< .т.е или .

18.Предел.Отнош. Синуса. К. Аргумент.

Докажем, что Так как f(x) = является четной функцией, то рассмотрим ее только на интервале (0; )Возьмем дугу AM единичного круга, соответствующую углу, радианная мера которого равна x. Площадь сектораOAM заключена между площадями треугольников OMA и OTA:S OMA <Sсек< S4OAT ⇔ · |OA| · |PM| < · |OA|²· x < · |OA| · |AT|. Так как |OA| = 1, |MP| = sin x, |AT| = tg x, то sinx<x<tgx⇔ 1 < ·< ⇔cosx< < 1. В силу четности функции cosx и последнее двойное неравенство справедливо и для интервала ( - ; 0). Таким образом, для любого x ∈( - ; 0)∪(0; )выполняется неравенство cosx< < 1Переходя к пределу при

x → 0 получим

т.е. =1 – который называют первым замечательным пределом.

19 .Число е.

Пример 1. Доказать справедливость неравенства (неравенство Я. Бернулли)

Решение. Докажем, основываясь на методе математической индукции.

1. При n = 1 утверждение, очевидно, справедливо.2. Предположим, что оно справедливо при n = k, т.е. верно (1 + α)^k> 1 + kα.

3. Докажем, что оно справедливо при n = k+1.Действительно Согласно методу математической индукции заключаем, что утверждение справедливо ∀n ∈ N.Рассмотрим последовательность {x_n}, где Покажем, что последовательность {y_n}, где убывающая. Действительно ∀n 2, находим

Очевидно, что все члены последова-тельности {y_n} имеют положительные члены, а следова-тельно, согласно теоремеВейерштрасса, она имеет предел. Тогда

Определение 1. =е

20. Бесконечно малые и большие функции. Символы ~, о, О. Сравнение функций

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или бесконечно малой) при x → x₀ если =0 Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или бесконечно большой) при x → x₀ если = Теорема 13.Если функция f(x) при x → x₀ – бесконечно большая, то функция при x → x₀ – бесконечно малая. Если функция f(x) при x → x₀ – бесконечно малая, то функция при x → x₀ – бесконечно большая. ]

Свойства бесконечно малых функций.

Т еорема 14. Конечная сумма бесконечно малых функций при x → x₀, есть функция, бесконечно малая при x → x₀. Доказательство. Если α_i(x), i = 1, n – бесконечно малые функции при x → x₀, то =0 ,i = 1, n

Теорема 15. Произведение бесконечно малой функции при x → x₀ и функции, ограниченной в (x₀), есть бесконечно малая функция при x → x₀. Следствие1. Произведением некоторого числа и бесконечно малой функции при x → x₀ есть бесконечно малаяфункция при x → x₀.Теорема 16. Частное от деления бесконечно малой функции α(x) при x → x₀ на (x), такую, что есть бесконечно малая функция при x → x₀.

Д оказательство. Так как α(x) – бесконечно малая функция, то =0Тогда

где = C 0.