15. Общие свойства предела функции и арифметические операции.

Определение 3. Функция f : X → R называется финально постоянной при X x → x₀, если она постоянна в некоторой проколотой окрестности V_δ(x₀) точки x₀, предельной для множества X.

Определение 4. Функция f :X → R называется финально-ограниченной при X x → x₀ если существует V_δ(x₀), что

∀x∈V_δ(x₀) будет |f(x)| <M, где M> 0.

Теорема 8.а) Если y₀ предел функции f(x) при x → x₀, то f(x) финально ограничена при x → x₀;

б) Если f(x) финально постоянна при x → x₀ то она имеет предел в точке x₀;

в) Если f(x) в точке x₀ имеет предел, то этот предел единственный. Доказательство. Утверждение а) о финальной ограниченности функции имеющей предел и утверждение б) о наличии предела у финально постоянной функции, вытекает прямо из соответствующих определений. Докажем единственность предела.

Предположимпротивное, т.е. пустьвточкеx₀ функцияf(x) имеетдвапределаy0 иy1, иприэтомy₀ y₁, т.е.

y₀= ⇔∀ε> 0 ∃δ₁>0 :∀x 0<|x − x₀|<δ₁⇒ |f(x) −y₀|< .

и

y₁= ⇔∀ε > 0 ∃δ₂>0 :∀x 0<|x − x₀| <δ₂⇒|f(x) – y₁| < Тогда∀x ∈V_δ(x₀), где δ = min{δ₁, δ₂} имеем

0 |y₀ − y₁| |y₀ − f(x)| + |f(x) − y₁| < + что противоречит предположению.

16.Предел ф-ции и неравенства.

Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности точки x₀ т.е. на множествеV_δ(x₀)= {x : 0 < |x−x₀| < δ}.В точке x₀ значение f(x₀) может быть не определено.Определение 1 (по Коши, или, на языке «ε − δ» ). Число y₀ называется пределом функции y = f(x) в точке x₀ (или, при x → x₀), если для любого ε > 0 можноуказать такое число δ = δ(ε) > 0, что при всех x, удовлетворяющих условию

0 < |x − x₀| <δ, выполняетсянеравенство |f(x) − y₀| <ε, или: y₀= ⇔∀ε> 0 ∃δ> 0 :∀x 0 < |x − x₀| <δ⇒|f(x) − y0| <ε . В определении 1 используются понятия ε-окрестности и проколотой δ-окрестности. Если обозначить V_ε(y₀) = {y = f(x) : |f(x) − y₀| <ε},V_δ(x₀) = {x : 0 < |x − x₀| <δ}, то его кратко записывают еще в виде y₀= ⇔∀ε> 0 ∃δ> 0∀x∈ _δ(x₀) ⇒f(x) ∈V_ε(y₀). Определение 2 (по Гейне, или, на языке последо-вательностей). Число y₀ называется пределом функции y = f(x) в точке x₀ (или, при x → x₀), если для любой последовательноститочек x_n∈V_δ(x₀), сходящейся к x₀, последовательность соответствующих значений функции f(x_n) сходится к y₀:y₀= ⇔∀x_n : _n=x₀⇒ _n)= y_{0 .}

Св-ва:Определение 3. Функция f :X → R называется финально постоянной при X x → x₀, если она постоянна в некоторой проколотой окрестностиV_δ(x₀) точки x₀, предельной для множества X.Определение 4. Функция f :X → R называется финально-ограниченной при X x → x₀ если существуетV_δ(x₀), что

∀x∈ _δ(x₀) будет |f(x)| <M, где M> 0.

Теорема 8. а) Если y₀ предел функции f(x) при x → x₀, то f(x) финально ограничена при x → x₀; б) Если f(x) финально постоянна при x → x₀ то она имеет предел в точке x₀; в) Если f(x) в точке x₀ имеет предел, то этот предел единственный. Доказательство. Утверждение а) о финальной ограниченности функции имеющей предел и утверждение б) о наличии предела у финально постоянной функции, вытекает прямо из соответствующих определений. Докажем единственность предела. Предположим противное, т.е. пусть в точке x₀ функция f(x) имеет два предела y0 и y1, и при этом y₀ y₁, т.е. y₀= ⇔∀ε> 0 ∃δ₁> 0 :∀x 0 < |x − x₀| < δ₁⇒ |f(x) − y₀| < .и y₁= ⇔∀ε> 0 ∃δ₂> 0 :∀x 0 < |x − x₀| < δ₂⇒ |f(x) – y₁| < .Тогда ∀x∈ _δ(x₀), где δ = min{δ₁, δ₂} имеем 0 |y₀ − y₁| |y₀ − f(x)| + |f(x) − y₁| < + что противоречит предположению.

Н еравенства.Пусть _n=a, _n=b Если существует номер N∈ такой, что при любом n>N:

Т.е. стоит заметить, что строгое неравенство в пределе может перейти в равенство, например, справедливо