8. Предел числовой последовательности и общие свойства предела.

Опр.2 Число a наз. Пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно

малого положительного числа ε найдется такое натуральное число n₀ = n₀ (ε), что для всех n>n₀ выполняется

неравенство |x_n-a|< ε

В этом случае говорят, что последовательность имеет предел и пишут lim_n→∞x_n= a.

Теорема 1.

а) Финально постоянная последовательность сходится;

б) Если последовательность имеет предел, то он единственный;

в) Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.

А)Если x_n =Aпри n>n₀ϵN, то для любой окрестности V(A) точки А имеем x_n ϵV(A) при n>n₀, т.е. lim_n→∞x_n= А.

Б) Пусть lim_n→∞x_n= a.иlim_n→∞x_n= b, при чем тогда по опр. Предела последовательности имеем

И

Положим N = max{N₁,N₂}. Тогда ∀ε >0 ∀n > N будет справедливо |x_n–a|< ε и |x_n− b| < ε. Откуда

т.е. 1/2|a − b| < ε для ∀ε >0. Последнее возможно только при a = b.

В) пусть lim_n→∞x_n= a.тогда по опред. Предела

Т.е. будет выполнятсяa-ε<x_n<a+ε, aтем более

–(|a|+ε)<x_n<(|a|+ε)

ПустьМ=max{|x₁|,|x₂|,…,|x_n|,|a|+ε}. Тогда получим, что |x_n|≤M

9.Предел.Переход. И арифмет. Операц.

Арифмет. Операц. Определение 3. Если {x_n}, {y_n} - две числовые последовательности,то их суммой,произведением и частным называются соответственно последовательности {x_n + y_n}, {x_ny_n}, {x_n/y_n} (при делении предполагается, что все членыпоследовательности {y_n} отличны то нуля).

Теорема 2. Если последовательности {x_n}, {y_n} сходятся и _n=aи _n=bто, а) _n y_n= _{n n}=a б) _n=c _n=c*a, c \{0} в) _ny_n= _{n n}=a*b г) = _n\ _n=a\b

Доказательство. Докажем случай г). Имеем. _n=a

⇔ ∀ε> 0 ∃N₁∈N :∀n>N₁⇒ |x_n − a| <εи _n=b⇔∀ε> 0 ∃N₂∈N : ∀n>N₂ ⇒ |y_n − b| <ε . Посколькуb 0, то∃δ> 0 ∃N₃∈N : ∀n>N₃⇒ |y_n| >δ> 0. Пусть N = max{N₁,N₂,N₃}. Тогда имеем

Если называют неопределенностью вида . . Для вычисления такого предела теорема 2неприменима. Вычисление пределов для неопределенных выражений вида 1^∞, ∞−∞, 0·∞ называют раскрытиемсоответствующих неопределенностей.

10. Предельный переход и неравенства Если и в некоторой проколотой окрестности точки a справедливо неравенство f(x)≤g(x), то b≤c.

Д-во:

Допустим противное b>c. Тогда и по теореме о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности справедливо неравенство f(x)-g(x)>0. По условию в некоторой проклотой окрестности справедливо неравенство f(x)≤ g(x). Пусть . Тогда в должны быть справедливы оба неравенства, f(x)≤ g(x) и f(x)>g(x), что невозможно.

Предельный переход в равенстве.

Пусть существует окрестность такая, что для всех точек X верно f(x)=g(x), и при этом существует

11. Критерий Коши существования предела числовой последоват.

Определение 1. Последовательность {x_n} называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого числа ε > 0 найдется такой номер N ∈ N, что из n > N и m > N следует |x_n − x_m| < ε.

Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательности). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Док-во.Необходимость. Пусть _n=aТогда, согласноопределения, ε> 0 ∃N∈ : ∀l>N⇒ |x_l − a| < Еслитеперьm>Nиn>N, то |x_m − x_n| = |x_m − a + a − x_n| |x_m − a| + |x_n − a| < + = т.е. сходящаясяпоследовательностьфундаментальна.