71. Некоторые приложения определённого интеграла.
1. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат.
Из
геометрического смысла определённого
интеграла следует, что если f(x)
≥ 0 ∀x∈
[a;
b],
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной кривой y
= f(x),
осью Ox
и прямыми x
= a
и x
= b,
может быть вычислена по формуле S=
,
(5.26)
причем S ≥ 0. Если f(x) < 0 ∀x ∈ [a; b], то и ≤ 0 при a < b. Следовательно, в этом случае
(5.27)
Если подынтегральная функция f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a; b], то интеграл (5.26) равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций, лежащих над осью Ox (со знаком «+») и под этой осью (со знаком «-»).
2. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линией L, заданной в полярной системе координат {0, r, ϕ} уравнением
r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.
За базовую фигуру в полярной системе координат принимается криволинейный сектор-фигура, ограниченная линией r = r(ϕ) и радиус-векторами ϕ = α, ϕ = β. При этом криволинейный сектор будем считать правильной фигурой, т.е. такой, что любой луч ϕ=ϕ∗, α≤ϕ∗≤β, исходящий из полюса O, пересекает линию r=r(ϕ) не более, чем в одной точке. Будем также предполагать, что функция r = r(ϕ) непрерывна на отрезке [α; β].
Для вычисления площади криволинейного сектора OAB применим алгоритм составления интегральной суммы с
последующим предельным переходом к определенному интегралу.
1. Разобьём отрезок [α; β] на n частичных отрезков точками α=ϕ0 <ϕ1< ... <ϕn = β. Обозначим ∆ϕk = ϕk−ϕk−1,
k
=
.
Проведем лучи ϕ
= ϕk,
k
=
.
Тогда криволинейный сектор OAB
разобьется на n
частичных криволинейных секторов.
2. На каждом частичном отрезке [ϕk; ϕk−1], k = выберем произвольным образом точку θk и найдем значения
функции r(ϕ) в этих точках: rk = r(θk), k = .
3.
Предположим, что на каждом из частичных
отрезков [ϕk−1;ϕk]
функция r=r(ϕ)
постоянна и совпадает со значением rk
= r(θk).
Тогда каждый частичный криволинейный
сектор можно заменить круговым сектором
с радиусом rk
= r(θk)
и центральным углом ∆ϕk.
Площадь такого кругового сектора
вычисляется по формуле
За площадь S криволинейного сектора OAB примем
площадь фигуры, состоящей из n частичных круговых секторов:
Приближенное равенство (5.28) тем точнее, чем меньше отрезки [ϕk−1; ϕk], т.е. чем больше n. Правая часть равенства (5.28) является интегральной суммой для непрерывной функции r2(ϕ) на отрезке [α; β]. Таким образом, площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле
(5.29)