68. Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема 20 (основная теорема интегрального исчисления). Если f ∈ C[a;b] и Φ(x) любая первообразная функции f(x) на [a; b], то
Доказательство.
Из условия следует, что функция f(x) имеет
первообразную. Все множество первообразных
дается формулой
Значит
имеем
Полагая
x
= a,
получим C
= Φ(a),
откуда
Полагая в последнем выражении x = b, получим формулу совпадающую с (3.22) с точностью до обозначения переменной интегрирования. Формула (3.22) называется формулой Ньютона-Лейбница.
Для дальнейших приложений расширим понятие первообразной.
Определение 1. Непрерывная на числовом промежутке функция Φ(x) называется первообразной (обобщенной первообразной) функции f(x), определенной на том же промежутке, если во всех точках промежутка, за исключением, может быть, конечного их числа, имеет место соотношение Ф’(x)=f(x).
Теорема 19’. Каждая определенная и ограниченная на отрезке [a;b] функция f(x) с конечным множеством точек разрыва имеет на этом отрезке (обобщенную) первообразную, причем любая первообразная функции f(x) на [a;b] имеет вид (3.21).
Доказательство. Поскольку f(x) имеет конечное множество точек разрыва, то f∈R[a;b] и, следовательно, функция F(x) является обобщенной первообразной для f(x) на [a;b]. При этом заметим, что F(x) непрерывна на [a;b]. Если Φ(x) другая первообразная функции F(x) на [a; b], то Φ(x) − F(x) - непрерывная функция, постоянная на каждом из конечного числа промежутков, на которые точки разрыва функции f(x) разбивают отрезок [a; b]. Из непрерывности Φ(x) − F(x) на [a;b] тогда следует, что Φ(x) −F(x) ≡ const на [a;b].
Теорема
20’. Если
f
: [a;
b]
→ R
- ограниченная функция с конечным числом
точек разрыва, то f∈R[a;
b]
и
где Φ(x) -любая из первообразных функции f(x) на отрезке [a;b].
69. Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема 21. Если ϕ : [α; β] → [a; b] - непрерывно дифференцируемое отображение отрезка α ≤ t 6 ≤ в отрезок
a ≤ x 6 ≤ такое, что ϕ(α) = a и ϕ(β) = b, то при любой непрерывной на [a; b] функции f(x) функция f(ϕ(t)) · ϕ’(t) непрерывна на отрезке [α; β] и справедливо равенство
(4.23)
Доказательство. Пусть F(x) - первообразная функции f(x) на [a; b]. Тогда по теореме о дифференцировании композиции функций, функция F(ϕ(t)) является первообразной для функции f(ϕ(t)) · ϕ’(t), непрерывной, как композиция и произведение непрерывных функций на отрезке [α; β]. По формуле Ньютона-Лейбница
Но по условию, ϕ(α)=a, ϕ(β)=b, т.е. равенство (4.23) имеет место.
Теорема 21’. Пусть ϕ : [α; β] → [a; b] - непрерывно дифференцируемое, строго монотонное отображение отрезка
α≤t≤β в отрезок a≤x≤b с соответствием концов ϕ(α) = a, ϕ(β) = b или ϕ(α)=b, ϕ(β)=a. Тогда при любой функции f(x), интегрируемой на отрезке [a; b], функция f(ϕ(t)) · ϕ’(t) интегрируема на [α; β] и справедливо
.
70. Интегрирование по частям. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме.
Теорема 22. Если функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке с концами a и b, то справедливо
соотношение
(4.24)
или в сокращенном виде
Доказательство. По правилу дифференцирования произведения функций имеем (u · v)’= u’· v + u · v’.
По условию все функции в этом равенстве непрерывны, а значит, и интегрируемы на отрезке с концами a и b. Используя
линейность интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получаем
В качестве следствия получаем формулу Тейлора с интегральным остаточным членом.
Пусть на отрезке с концами a и x функция f(t) имеет n непрерывных производных. Используя формулу Ньютона-
Лейбница и формулу (4.24), проделаем цепочку преобразований, в которых все дифференцирования и подстановки производятся по переменной t:
где
(4.25)
И так, доказана
Теорема 23. Если функция f(t) имеет на отрезке с концами a и x непрерывные производные до порядка n включительно, то справедлива формула Тейлора
с остатком rn−1(a;x), представленным в интегральной форме