60. Критерий Коши интегрируемости функций.

Теорема 2. Для того, чтобы функция f(x) была интегрируема на отрезке [a; b], необходимо и достаточно, чтобы для любого ε> 0 существовало такое δ> 0, что, каковы ни были разбиения τ’= {x’_i}i=n’ i=0 и τ’’= {x’’_i}i=n’’ i=0 диаметра меньше δ, т.е. |τ’| <δ, |τ’’| <δ и точки ξ’_i∈ [x’_i−1; x’_i], i = 1, n’, ξ’’_j∈ [x’’_j−1; x’’_j ], j = 1, n’’, выполнялось неравенство

Доказательство. Если функция f(x) интегрируема, то существует предел (1.1), то есть для любого ε> 0 существует такое δ> 0, что для любого разбиения τ = {x_i}i=ni=0 диаметра меньше δ, т.е. |τ | <δ, и при любом выборе точек

ξ_i∈ [x_i−1; x_i], i = 1, n для интегрируемых сумм σ_τ выполняется неравенство Если теперь σ’ и σ’’ две такие интегральные суммы, что |τ ‘| <δ, |τ’’| <δ, то

61. Достаточное условие интегрируемости функции.

Пусть Число ω(f,E) называется колебанием функции f(x) на E. Если τ = {x_i}i=ni=0 разбиения отрезка [a; b], E_i = [x_i−1; x_i], то называется интегральным колебанием функции f(x) на [a; b].

Теорема 3 (достаточное условие интегрируемости). Чтобы ограниченная функция f(x) на [a; b] была интегрируемой на [a; b] достаточно, чтобы для любого ε> 0 существовало δ> 0, что для любого разбиения τ = {x_i}i=ni=0 диаметра |τ | <δ выполнялось условие

Доказательство. Рассмотрим разбиение τ = диаметра |τ | < δ и построим интегральную сумму =

Рассмотримдалее разбиение τ ′ = { } - продолжение разбиения τ Точки разбиения τ ′ снабжаем двумя индексами.

Первый индекс означает, что точка принадлежит отрезку , второй индекс - номер точки на этом отрезке. При этом

если отрезок делится на отрезков, то можем записать

△ =△ .

Образуем ; тогда

Поскольку , принадлежат ,то . Значит

Итак, для данной интегральной суммы и её продолжения выполнено условие Коши если имеет место условие (1.5).

Пусть теперь τ1 и τ2 два произвольных разбиения диаметров |τ1| и |τ2| меньших δ. Пусть τ ′ есть объединение

разбиений τ1 и τ2, т.е. τ ′ = τ1 ∪τ2. Очевидно, что τ ′ есть как продолжение разбиения τ1, так и продолжение разбиения

τ2.

Тогда если выполнено условие вида (1.5), то можем записать а тогда

Согласно критерия Коши функция f(x) интегрируема на [a; b].

62.Классы интегрируемых функций.

Теорема 4. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема по Риману на этом отрезке.

Доказательство. Очевидно, что если τ = {x_i}i=ni=0 - разбиение отрезка [a; b] диаметра |τ | <δ, то f(x) непрерывна на

частичных отрезкахE_k. Согласно теореме Кантора она равномерно непрерывна на каждом E_k. Этоозначает

Тогда

т.е. выполнено достаточное условие интегрируемости. Теорема 5. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] за исключением конечного числа точек и ограничена на нем, то f(x) интегрируема на [a; b].Доказательство. Так как f(x) ограничена на [a; b], то существует A > 0, что

Тогдаω(f,E) < A, где E = [a; b]. Пусть функция f(x) имеет ` точек разрыва c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, . . . , c`. Пусть ε > 0 – произвольное фиксированное число. Возьмем δ₁ = ε/8Al . Построим окрестности V_δ1 (ci), i = 1, l точек c_i. Обозначим Возьмем произвольное разбиение τ ={x_i}i=ni=0 отрезка E диаметра |τ | <δ<δ1.Запишем соответствующие интегральные колебания

которые представим в виде двух сумм

где Σ₁ относится к тем отрезкам разбиения, которые не имеют с U общих точек, Σ₂ соответствует остальным отрезкам из E.Тогда для слагаемых Σ₁ можно дать следующую оценку (смотри доказательство теоремы 4)

Поэтому

Оценим Σ₂. Прежде всего заметим, что для слагаемых Σ₂ имеем ω(f,Ek) < A. Сумма длин частичных отрезков не

превосходит числа

В итоге

т.е. выполнено достаточное условие интегрируемости.

Теорема 6. Если функция f(x) монотонна на отрезке [a; b], то она интегрируема на [a; b].