54. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших.
55. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Р
ассмотрим
функцию f(x)
= P(x)/Q(x),
где P(x),
Q(x)
- многочлены с действительными
коэффициентами.Рациональная дробь
P(x)/Q(x)
называется правильной, если либо P(x)
- нулевой многочлен, либо его степень
меньше степени многочлена Q(x),
и неправильной, если степень многочлена
P(x)
не меньше степени многочлена Q(x).Если
рациональная дробь P(x)/Q(x)неправильная,
то, разделив числитель на знаменатель
по правилу деления многочленов, получим
равенство
г
де
R(x),
P1(x),
Q1(x)
- некоторые многочлены, а P1(x)/
Q1(x)-
правильная рациональная дробь.Лемма
1. Пусть
P(x)/Q(x)-
правильная рациональная дробь. Если
число a
является действительным корнем
кратностиα>=
1 многочлена Q(x),
т.е.
т
о
существуют действительное число A
и многочлен P1(x)
с действительными коэффициентами такие,
что
где дробь P1(x)/(x−α)α−1Q1(x)также является правильной.
Лемма
2. Пусть
P(x)/Q(x)- правильная рациональная дробь.
Если
то существуют действительные числа M, N и многочлен P1(x) с действительными коэффициентами такие, что
где
дробьP1(x)/(x2+px+q)β−1Q1(x)
также является правильной.
Теорема 4. Пусть P(x)/Q(x)- правильная рациональная дробь, P(x), Q(x) - многочлены с действительнымикоэффициентами. Если
где ai - попарно различные действительные корни многочлена Q(x) кратности αi, i = 1, r, p2j − 4qj< 0, j = 1, s, то
существуют действительные числа Ai(α)i , i = 1, r, α = 1, αi, Mj(β), Nj(β), j = 1, s, β = 1, βj , такие, что
Рациональные дроби вида A/(x−a)αA ≠0 и Mx+N/(x2+px+q)β M2 + N2≠0,где a, p, q, A, M и N - действительные числа и ((p2/4)-q)< 0 (корни квадратного трехчлена x2+px+q комплексные), называются элементарными рациональными дробями.Таким образом, теорема утверждает, что всякая ненулевая правильная рациональная дробь может быть разложенана сумму элементарных рациональных дробей.Чтобы найти коэффициенты разложения, чаще всего применяют метод неопределенных коэффициентов и метод
частных значений.
56. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.
Интеграл
вида
.
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.
Интегралы
этого вида вычисляются с помощью
подстановки
.
Эта подстановка позволяет преобразовать
тригонометрическую функцию в рациональную.
,
Тогда
Таким
образом:
Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.
Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.
Интеграл вида если
функция R является нечетной относительно cosx.
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.
Функция
может содержать cosx
только в четных степенях, а следовательно,
может быть преобразована в рациональную
функцию относительно sinx.
Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.
Интеграл вида если
функция R является нечетной относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.
Тогда
Интеграл вида если
функция R является нечетной относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.
Тогда
Интеграл произведения синусов и косинусов
различных аргументов.
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
