3. Неравенство Минковского.

Пусть Тогда (6.42)

и (6.43)

Доказательство.Применим неравенства Гельдера и членам правой части тождества

Тогда левая часть будет оценена сверху или снизу в соответствии с неравенствами (6.40), (6.41) величиной

После деления полученных неравенств на приходим к (6.42) и (6.43).Зная условия равенства в неравенствах Гельдера, проверяем, что знак равенства в неравенствах Минковского возможен лишь в случае коллинеарности векторов ( ), ( ).

При n = 3 и p = 2 неравенство Минковского (6.42), очевидно, является неравенством треугольника в трехмерномевклидовом пространстве.

51. Неопределенный интеграли его основные свойства.

Определение 2. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве X называется неопределенным интегралом и обозначается = F(x) + C. (1.1) В формуле (1.1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, а C – постоянной интегрирования.

Св-ва. 1⁰. Пусть функция f(x) имеет первообразную на числовом промежутке X. Тогда

20. Пусть функция F(x) дифференцируемая на числовом промежутке X. Тогда

30. Пусть функция f(x) интегрируема на числовом промежутке X, k - некоторое ненулевое действительное число. Тогда функция kf(x) имеет первообразную на числовом промежутке X и

52. Интегрирование подстановкой в неопределенном интеграле.

Теорема 2. Пусть определенные соответственно на числовых промежутках Jx и Jt функции f :Jx → R и ϕ :Jt → R

обладают следующими свойствами:1) значение ϕ(t) ∈Jx, ∀t∈Jt;2) на числовом промежутке Jx функция f(x) имеет первообразную F :Jx → R, то есть

3) функция ϕ дифференцируема на Jt.

Тогда на числовом промежутке Jt сложная функция F(ϕ(t)), ∀t∈Jt является первообразной функции f(ϕ(t))ϕ’(t), ∀t∈Jt и

Доказательство. То, что при любом t∈Jt значение ϕ(t) ∈Jx, позволяет говорить о существовании сложных функций f(ϕ(t))и F(ϕ(t))на Jt. Из соотношения (2.2) следует,чтоF’(x) = f(x), ∀x∈Jx. Тогда по правилу дифференцирования

сложной функции

Это означает, что на Jt функция f(ϕ(t))· ϕ’(t) имеет первообразнуюFϕ(t). Отсюда, согласно определению

неопределенного интеграла, следует, что

Поскольку

53. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Теорема 3. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке X и на этом промежутке

существует интеграл vdu, то на нем существует и интеграл udv, причем

Доказательство. Пусть функции u(x) и v(x)дифференцируемы на промежутке X. Тогда по правилу дифференцирования произведения для всех точек этого промежутка имеет место равенство d(uv) = vdu + udv и поэтому udv = d(uv) – vdu

Интеграл от каждого слагаемого правой части существует, так как, согласно свойству 2⁰

^{а интеграл vdu существует по условию. Поэтому на основании свойства 4 существует и интеграл udv, причем}

^{Соотношение (2.5) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла}

^{udv можно свести к вычислению другого интегралаvdu. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части}

^{формулы (2.5) более прост для вычисления, чем исходный.}