5.Лемма о вложенных отрезках.

Л емма 2. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, принадлежащее всем отрезкамданной системы.Доказательство. Пусть задана система вложенных отрезков

Обозначим через A множество всех левых концов a_n - отрезков этой системы, а через B - множество их правых концов b_n. Для любых номеров m и n выполняется неравенство (1)

Поэтому из неравенства (1), в силу свойства непрерывности множества действительных чисел, следует, что существуеттакое число ξ, для которого при всех номерах m и n выполняется неравенствоа, в частности, и неравенствоП оследнее и означает, что число ξ принадлежит всем отрезкам [a_n, b_n].

6. Лемма о конечном покрытии.

Лемма 4. Из всякой системы интервалов, покрывающей данный отрезок, можно выделить конечную подсистемуинтервалов, покрывающих этот отрезок.Доказательство. Пусть S = {U} - система интервалов, покрывающая отрезок [a, b] = I₁. Если бы отрезок I₁ не допускалпокрытия конечным набором интервалов системы S, то поделив I₁ пополам, мы получили бы, что по крайней мере однаиз его половинок, которую мы обозначим через I₂, тоже не допускает конечного покрытия. С отрезком I₂ проделаем туже процедуру деления пополам, получим отрезок I₃ и т.д.

Таким образом, возникает последовательностьI₁⊃ I₂⊃ . . . ⊃I_n⊃ . . . вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия интервалами системы S. Поскольку длина отрезка, полученного на n-м шаге, по построению равна|I_n| = |I₁|/2^n-1, то в последовательности {I_n} есть отрезки сколь угодно такой длины. По лемме о вложенных отрезках существует точка C, принадлежащая всем отрезкам I_n, n ∈N. Поскольку C ∈ I₁ = [a, b], то найдется интервал

(α, β) = U ∈ S системы S, содержащий точку C, т.е α < C < β. Пусть ε = min{C − α, β − C}. Найдем в построенной

последовательности такой отрезок I_n, что |I_n| < ε. Поскольку C ∈I_n и |I_n| < ε, заключаем, чтоI_n⊂ U = (α, β). Но это

противоречит тому, что отрезок I_n нельзя покрыть конечным набором интервалов системы.

7. Лемма о предельной точке числового множества.

Лемма 5. Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.Доказательство. Пусть X-данное подмножество R. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке [a, b] = I ⊂ R. Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка I являетсяпредельнойдля X.

Если бы это было не так, то каждая точка x ∈ I имела бы окрестность V (x), в которой либо вообще нет точекмножества X, либо их там конечное число. Совокупность {V (x)} таких окрестностей, построенных для каждой точкиx ∈ I, образует покрытие отрезка I интервалами V (x), из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечьконечную систему V (x₁), . . . , V (x_n) интервалов, покрывающую отрезок I. Но поскольку X ⊂ I, то эта же системапокрывает все множество X. Однако в каждом интервале V (x_i) только конечное число точек множества X, значит,и в их объединении тоже конечное число точек X, т.е. X-конечное множество. Полученное противоречие завершаетдоказательство.