48.Выпуклость функции
Определение 1. Функция f(x) называется выпуклой вниз (выпуклой) на интервале (a; b), если для любых x1 и x2из
(a; b), a≤x1<x2≤b, хорда AB лежит не ниже графика этой функции, где A =(x1, f(x1)), B =(x2, f(x2)), т.е.
f(x1+t(x2−x1))≤f(x1)+t·(f(x2) − f(x1)), t ∈ [0; 1]. (5.28)
Определение 2.Функция f(x) называется выпуклой вверх (вогнутой) на интервале (a; b), если для любых x1 и x2из
(a; b), a≤x1<x2≤b, хорда AB лежит не выше графика этой функции, т.е. если f(x1+t(x2−x1))≥f(x1)+t·(f(x2 −f(x1)), t∈[0; 1].
Теорема 18. Непрерывно дифференцируемая функция f(x) выпукла вниз на (a; b) тогда и только тогда, когда для любых x1 и x2 из (a; b) выполнено неравенство
f(x2) ≥f(x1) + f’(x1)(x2 − x1) (5.29)
Доказательство.Необходимость. Из (5.28) имеем(f(x1+t(x2−x1))−f(x1))/t≤f(x2)−f(x1).
В этом неравенстве перейдём к пределу при t → +0. Получим
limt→+0(f(x1 + t(x2 − x1))− f(x1))/t= limt→+0(f(x1 + t(x2 − x1))− f(x1))/t)*(x2 − x1)= f’(x1)(x2 − x1) ≤f(x2) − f(x1).
Достаточность. Пусть выполнено условие (5.29). Примем в нём x1 = x. Тогдаf(x2) ≥f(x) + f’(x)(x2 − x). (5.30)
Заменив в (5.30) x2 на x1, будем иметьf(x1)≥f(x)+f’(x)(x1−x).(5.31)
Умножив обе части неравенства (5.30) на t, а неравенства (5.31) на 1−t и сложив получившиеся при этом неравенства,
Получим
tf(x2) + (1 − t)f(x1) ≥f(x) + f’(x)·(t(x2 − x1) + x1–x).
Отсюда при x = x1 + t(x2 − x1) получим
f(tx2 + (1 − t)x1)≤tf(x2) + (1 − t)f(x1), t ∈ [0; 1],т.е. (5.28).
Аналогично доказываются необходимые и достаточные условия выпуклости вверх на интервале непрерывно дифференцируемой функции f(x).
Составим уравнение касательной к графику непрерывно дифференцируемой функции f(x) в точке x1:Y=f(x1)+f’(x1)(x−x1).
Тогда правая часть неравенства (5.29) есть Y (x2) и, значит, f(x2) ≥Y (x2). Отсюда и из теоремы 18 получаем:
Следствие 2. Непрерывно дифференцируемая функция f(x) выпукла вниз на (a; b) тогда и только тогда, когда всеточки (x,f(x)), x∈ (a; b), графика функции f(x) лежат не нижекасательной проведенной к нему в точке (x1, f(x1)),x1∈ (a; b).
Теорема 19 (достаточное условие выпуклости).
Если f(x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a; b) и f’’(x)>0, ∀x∈(a;b), то на (a;b) функцияf(x) выпукла вниз.
Еслиf’’(x)<0, ∀x∈(a;b), то на (a;b) функция f(x) выпукла вверх.
Доказательство. Пусть x1 - любая точка на (a; b). К графику функции f(x) в точке (x1, f(x1)) проведём касательнуюY(x)=f(x1)+f’(x1)(x−x1).
Функцию f(x) разложим по формуле Тейлора
f(x)
= f(x1)
+ f’(x1)(x
− x1)
+ +
(x
− x1)2,где
ξ∈
(x1;
x).
Рассмотрим разность f(x) − Y (x) = 1/2f’’(ξ)(x − x1)2, которая представляет собой разность ординат кривой f(x) икасательной Y (x) в точке x. В силу непрерывности f’’(x), если f’’(x1) > 0, то и f’’(ξ) > 0 в достаточно малой окрестностиV (x1) точки x1, а потому и f(x) − Y (x) > 0, ∀x∈V (x1).
Аналогично, если f’’(x1) < 0, то f(x) − Y (x) < 0, ∀x∈V (x1).
На основании следствия получаем, что в первом случае функция выпукла вниз, во втором - выпукла вверх.