39. Теорема Ролля.

Теорема 7. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема в каждой точке интервала (a; b) и f(a) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка ξ, a<ξ<b, такая, что f’(ξ) = 0.

Доказательство. Если f(x) – постоянная на [a; b], то f’(x) = 0, ∀x ∈ (a; b).

Пусть теперь f(x) не является постоянной функцией. Непрерывная на отрезке [a;b] функция по теореме Вейерштрасса достигает в некоторых точках отрезка [a; b] наибольшего и наименьшего значений. Поскольку f(x) не является постоянной, то или или обязательно достигаются функцией во внутренней точке ξ отрезка [a; b].

По теореме Ферма f’(ξ) = 0.

Замечание 3. Геометрический смысл теоремы Ролля следующий: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a;b] обязательно найдется хотя бы одна точка ξ, такая, что касательная к графику f(x) в точке (ξ,f(ξ)) параллельна оси Ox.

Следствие 1 (Обобщенная теорема Ролля). Пусть функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема на отрезке [a; b] и обращается в нуль в n + 1-й точке x₀ , x₁ , x₂ , ... ,x_n этого отрезка. Тогда существует такое число ξ∈ (a;b), что f⁽ⁿ⁾(ξ) = 0.

Доказательство. Для простоты рассуждений ограничимся случаем n = 2, т.е. функция f(x) обращается в нуль в точках x₀ , x₁ , x₂ . Для определенности будем считать, что x₀<x₁<x₂ . Так как f(x₀) = f(x₁) = f(x₂) = 0, то по теореме Ролля существует ξ₁ ∈ (x₀; x₁), что f’ (ξ₁) = 0, и существует, ξ₂∈(x₁;x₂), что f’(ξ₂)=0. Итак, на концах отрезка [ξ₁;ξ₂] выполнено условие f’(ξ₁ )=f’(ξ₂) = 0. По теореме Ролля на отрезке [ξ₁ ;ξ₂] существует точка ξ в которой f’’(ξ) = 0.

40. Теорема Лагранжа.

Теорема 8. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует по крайней мере одна точка ξ ∈ (a; b), такая, что

f(b) − f(a) = f’(ξ)(b − a).

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

(x) = (b − a)f(x) –(f(b) −f(a))x. Покажем, что функция (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно:

1) (x) непрерывна на [a; b], так как является суммой непрерывных на [a; b] функций;

2) (x) дифференцируема на (a; b), так как является суммой дифференцируемых на (a; b) функций;

3) (a) = (b) = bf(a) − af(b). Итак, (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, причем

‘(x) = (b − a)f ‘(x) – (f(b) − f(a) ). По теореме Ролля существует точка ξ∈ (a; b), такая, что ‘(ξ) = 0, т.е.

(b − a)f’(ξ) –(f(b) − f(a))= 0 ⇔ f(b) − f(a) = f’(ξ)(b − a).

41. Теорема Коши.

Обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.

Т еорема 9. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям:1) непрерывны на отрезке [a; b];

2) дифференцируемы в интервале (a; b),причемg‘(x) 0, ∀x ∈ (a;b).Тогда существует по крайней мере одна точка ξ ∈ (a; b) такая, что

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

Заметим, что g(b) g(a). Действительно, если бы g(b) = g(a), то для функции g(x) на отрезке [a; b] были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и по этой теореме внутри отрезка [a; b] нашлась бы по крайней мере одна точка ξ, для которой g’(ξ) = 0, что противоречит условию теоремы. Следовательно g(b) g(a).

Покажем, что вспомогательная функция (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. действительно:

1) (x) непрерывна на [a; b] как сумма непрерывных на [a; b] функций;

2) (x) дифференцируема на интервале (a; b) как сумма дифференцируемых на (a; b) функций;

3) (a) = 0, (b) = 0 поэтому и (a) = (b). Найдем

По теореме Ролля существует точка ξ ∈ (a; b) такая, что (ξ) = 0, поэтому