37. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

1. Производные высших порядков.

Пусть f :X → Y функция, дифференцируемая в каждойточкеx∈X. Ее производная в точке x есть некоторая функция g(x) = f’(x). Если функция g(x) дифференцируема, то имеет смысл определить ее производную g’(x) =(f’(x))’, которая называется второй производной функции f(x) и обозначается f’’(x). Таким образом, f’’(x) =(f’(x))’. Аналогично f’’(x) может оказаться дифференцируемой функцией в точке x, тогда f’’’(x)=(f’’(x))’ есть третья производная функции f(x). Точно так же, если в точке x определена производная порядка n−1 функции f(x), то производная порядка n или n-ая производная функции f(x) определяется формулой f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’ , n=1,2,…

Отметим, что в формуле принято f⁽⁰⁾(x) = f(x), т.е. производная нулевого порядка есть сама функция.

Для n-ой производной функции f(x) применяются и другие обозначения: f⁽ⁿ⁾_xx…x(x), f⁽ⁿ⁾_xⁿ(x), .

Функция f(x) называется n раз дифференцируемой в точке x∈X, если в этой точке у нее существуют все производные до n-го порядка включительно.

Если f(x) дифференцируемаn раз в каждой точке x∈X и f⁽ⁿ⁾(x) является непрерывной функцией на X, то f(x) называется n раз непрерывно дифференцируемой функцией или функцией класса C⁽ⁿ⁾[X]. Множество непрерывных функций, определенных на X, обозначается C[X]. Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой.

2.Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f :X → Y дифференцируема и df = f’(x)dx - ее дифференциал. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка, который обозначается d²f, то есть d²f = d(df). Дифференциал n-го порядка есть dⁿf = d(d^n-1f).

Если x – независимая переменная, а dx – постоянная (не зависит от x) и функция f имеет n производных, то, учитывая, что (dx)’=(dx)’’=…=(dx)⁽ⁿ⁾=0 последовательно находим: df=f’(x)dx, d²f=d(f’(x)dx)=(f’(x)dx)’dx=f’’(x)(dx)²=f’’(x)dx², … ,

dⁿf=d(f^(n-1)(x)dx^n-1)=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

Предположим теперь, что x есть некоторая функция параметра t, то есть x = ϕ(t), t∈T. Тогда f является сложной функцией f(ϕ (t)) и ее первый дифференциал, как известно, обладает свойством инвариантности формы. Покажем, что дифференциалы более высокого порядка в этом случае инвариантностью не обладают.

В самом деле, если x - независимая переменная, то d²f=f’’_xxdx².

Если же f = f(x), x = ϕ(t), то d²f=d(df)=d(f’_xdx)=df’_x^.dx+f’_x^.d(dx)=f’’_xxdx²+f’_xd²x,

что не совпадает с полученной выше формулой для d²f в случае независимой переменной.

Покажем, что если f и g принадлежат классу C(n)[X], то

.

Формулу док-ваем методом мат.индукции. итоговая формула

, где

38. Теорема Ферма.

Определение 1. Точка x₀∈ X называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), а значение в ней локальным максимумом (минимумом), если существует окрестность V (x₀ ) точки x₀ , такая, что ∀x ∈ V (x₀ ) имеем f(x)≤f(x₀) (f(x)≥f(x₀)).

Определение 2. Точка x₀∈X называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если существует проколотая окрестность (x₀) точки x₀, такая, что ∀x∈ (x₀) имеем f(x) <f(x₀) (f(x)>f(x₀)).

Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них - локальными экстремумами функции.

Заметим, что если x₀ точка строгого локального экстремума функции f(x), то приращение ∆f(x₀ ) = f(x₀ + ∆x) − f(x₀), ∀x ∈ (x₀) сохраняет знак.

Теорема 6 (Ферма). Пусть функция f(x) определена на интервале (a;b) и в некоторой точке x₀∈ (a; b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке x₀ существует конечная производная f’(x₀) , то f’(x₀) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x₀ функция имеет локальный минимум, т.е. f(x)≥ f(x₀), ∀x ∈ V (x₀). Тогда в силу дифференцируемости функции f(x) в точке x₀ при x > x₀ получим

а при x < x₀ будем иметь

Эти неравенства имеют место одновременно лишь при

f’₊(x₀)=f’_-(x₀)=f’(x₀)=0.

Замечание 1. Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в следующем: если точка x₀ ∈ (a; b) является точкой максимума или минимума функции и существует f’(x₀), то касательная, проведенная к графику функции в точке (x₀,f(x₀))параллельна оси Ox.

Замечание 2. Оба условия – интервал (a;b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны для справедливости теоремы Ферма. Действительно, пусть f(x) = |x|, x∈ (−1;1). В точке x₀= 0 функция f(x) имеет локальный минимум, но в ней она не дифференцируема. В данном случае условие существования производной в точке локального минимума нарушено и поэтому теорема Ферма не имеет места.

Пусть теперь f(x) = x³, x∈ [−1;1]. В точке x₀ = 1 имеется краевой максимум, но f’(1)=3≠0. Теорема Ферма не применима в данном случае, поскольку x = 1 (−1;1).