
- •1.Понятия множества. Логические символы.
- •2.Операции над множествами. Отображение множеств.
- •5.Лемма о вложенных отрезках.
- •6. Лемма о конечном покрытии.
- •7. Лемма о предельной точке числового множества.
- •8. Предел числовой последовательности и общие свойства предела.
- •9.Предел.Переход. И арифмет. Операц.
- •11. Критерий Коши существования предела числовой последоват.
- •12. Существование предела монотонной огран. Послед.
- •13.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейсяподпоследовательности
- •14.Предел функции. Эквивалентность опр.По Коши и по Гейне
- •15. Общие свойства предела функции и арифметические операции.
- •16.Предел ф-ции и неравенства.
- •17. Односторонние пределы.
- •18.Предел.Отнош. Синуса. К. Аргумент.
- •19 .Число е.
- •21. Непрерывность ф-ции в точке.
- •22.Точки разрыва функции.
- •23. Предел композиции (сложной функции). Непрерывность композиции функций.
- •24.Огранниченность ф-циинепрер. На отрезке.
- •25. Промежуточные значения непрерывных функций.
- •26. Непрерывность обратной функции на отрезке.
- •27. Непрерывность обратной функции на интервале.
- •28. Равномерная непрерывность функций.
- •29. Непрерывность элементарных функций.
- •30. Дифференцируемость функций. Дифференциал и производная.
- •31. Непрерывность функции, имеющей производную.
- •32. Геометрический смысл производной и дифференциала. Физический смысл производной.
- •33. Правила вычисления производных
- •34. Дифференцирование композиции функций.
- •35. Производная обратной функции.
- •36. Производные элементарных функций.
- •37. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
- •1. Производные высших порядков.
- •2.Дифференциалы высших порядков.
- •38. Теорема Ферма.
- •39. Теорема Ролля.
- •40. Теорема Лагранжа.
- •41. Теорема Коши.
- •42. Раскрытие неопределенностей вида
- •43. Раскрытие неопределенностей вида
- •44. Формула Тейлора.
- •45. Разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора.
- •46. Условие монотонности функции.
- •47. Экстремум функции.
- •48.Выпуклость функции
- •49. Tочки перегиба
- •50. Некоторые классические неравенства.
- •1.Неравенства Юнга.
- •2. Неравенство Гельдера.
- •3. Неравенство Минковского.
- •51. Неопределенный интеграли его основные свойства.
- •52. Интегрирование подстановкой в неопределенном интеграле.
- •53. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •54. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших.
- •55. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •56. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •57.Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •58.Интегрирование биноминального дифференциала
- •59. Понятие определенного интеграла. Необходимое условие существования интеграла Римана.
- •60. Критерий Коши интегрируемости функций.
- •61. Достаточное условие интегрируемости функции.
- •62.Классы интегрируемых функций.
- •64. Критерий Дарбу интегрир. Ф-ций.
- •65. Линейность, монотонность, аддитивность и общая оценка определенного интеграла.
- •3. Аддитивность интегралов.
- •4. Монотонность интеграла.
- •66.Теорема о среднем для интеграла.
- •67.Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства.
- •68. Формула Ньютона-Лейбница.
- •69. Замена переменной в определенном интеграле.
- •70. Интегрирование по частям. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме.
- •71. Некоторые приложения определённого интеграла.
30. Дифференцируемость функций. Дифференциал и производная.
О
пределение
1. Пусть
функция y = f(x) определена в некоторой
окрестности точки x0 ∈
R и пусть x–произвольнаяточка
этой окрестности. Если отношение
имеет gредел
при x
→ x0,
то этот предел называется производной
функции f(x)
в точке x0,
и обозначается f
’(x0):
Если
ввести обозначения x−x0
=
x,
f(x0+
x)−f(x0)
=
y,
то получаем еще одну запись определения
производной: Если для
н
екоторого
значения x0
существуют
пределы или
то говорят, что при
x
= x0
существует бесконечная производная или соответственно бесконечная производная определенного знака, равная − или + .В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать всегда наличие конечной производной, если не оговорено противное.
О
пределение
2. Если функция
f(x) определена в некоторой правосторонней
(левосторонней) окрестности точки x0
исуществует конечный или бесконечный
(определенного знака) предел
то он называется соответственно конечной или бесконечной правой (левой) производной функции f(x) в точке x0 иобозначается f ’+(x0) (f ’−(x0)) Правая и левая производные называются односторонними производными. Из теоремы об односторонних пределах следует, что функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки x0,имеет производную f ’(x0) тогда и только тогда, когда f ’+(x0) и f ‘−(x0) существуют и f’+(x0) = f’−(x0). В этом случае f’(x0) = f’+(x0) = f’−(x0).Если функция f(x) определена на некотором промежутке и в каждой его точке существует производная (причем под производной в конце этого промежутка, который принадлежит промежутку, понимается соответствующая односторонняя производная), то она также является функцией, определенной на данном промежутке, ее обозначают f’(x).
Теорема
1. Для того
чтобы функция f(x)
была дифференцируемой в некоторой точке
x0,
необходимо и достаточно,чтобы она имела
в этой точке производную, при этом dy
= f’(x0)
dx.Доказательство.
Пусть функция f(x)
дифференцируема в точке x0,
т.е
y
= A·
x+o(
x),
x
→ 0.Тогда
= A
+
= A.Поэтому
производная f’(x0) существует и равна A.
Отсюда dy= f’(x0) dx.
Теорема 2. Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке. Следствие 1. Если функция в некоторой точке имеет производную, то она и непрерывна в этой точке.Обратим внимание на то, если функция в точке имеет бесконечную производную, то она может быть разрывной в этой точке. Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, неверно, т.е. из непрерывности функции f(x) в данной точке не следует ее дифференцируемость.
31. Непрерывность функции, имеющей производную.
Теорема
2. Если функция
f(x)
дифференцируема в некоторой точке, то
она и непрерывна в этой точке.Доказательство.
Пусть функция f(x) дифференцируема в
точке x0,
т.е
y
= A ·
x
+ o(
x),
x
→ 0.
=
A
+
=
0,что и означает непрерывность функции
f(x) в точке x0.
Следствие 1. Если функция в некоторой точке имеет производную, то она и непрерывна в этой точке.Обратим внимание на то, если функция в точке имеет бесконечную производную, то она может быть разрывной в этой точке. Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, неверно, т.е. из непрерывности функции f(x) в данной точке не следует ее дифференцируемость.