1.Понятия множества. Логические символы.

Под множеством понимают совокупность определенных и отличных от других объектов, объединенных общим характерным признаком в единое целое. Объекты или предметы, из которых состоит множество, называют элементами множества.

Множества и их элементы обозначают обычно буквами латинского алфавита: множества - прописными A, B, C, ...,

их элементы - строчными a, b, c, ... Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут a ∈ A; если a не принадлежит множеству A, то пишут a ∈/ A.

При формулировке теорем и их доказательств часто приходится повторять отдельные слова и выражения. Чтобысократить записи, используют логические символы.

Квантор общности обозначается ∀, читается: «любой», «всякий», «каждый». С помощью квантора общности ∀

выражение «для любого x из множества M» можно записать: ∀x ∈ M.

Квантор существования обозначается ∃, читается: «существует», «найдется». С помощью квантора существования ∃ выражение «существует x, принадлежащее множеству M, такое, что ...» записывают: ∃ x ∈ M :. Двоеточие означает«имеет место», «такое, что».

Символ логического следования ⇒, означает: «следует», «вытекает».

Символ эквивалентности ⇔ обозначает равносильность утверждений, расположенных по разные стороны от него

и читается: «тогда и только тогда, когда . . .», «равносильно», «необходимо и достаточно».

Например, выражение «для любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что для всех x, отличных от x0 и удовлетворяющих

неравенству |x − x0| < δ, выполняется неравенство |f(x) − b| < ε» записывают в виде

∀ε > 0 ∃δ > 0 :∀x ̸= x0 |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε.

2.Операции над множествами. Отображение множеств.

Над множествами производят операции, во многом сходные с арифметическими.

Определение 1. Объединением множеств A и B называется множество A ∪ B, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B (или обоим одновременно):A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B или (x ∈ A и x ∈ B)}.

Определение 2. Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит обоим множествам одновременно:A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}.

Например, если A = {1,3,7,8}, B = {2,3,4,8}, то A ∩ B = {3,8}.

Определение 3. Разностью двух множеств B и A называется множество B \ A, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат B, но не принадлежат A:

B \ A = {x | x ∈ B и x ∈/ A}.

Например, если

A = {p | 0 < p < 30}, B = {p | 10 < p < 40},то

A ∪ B = {p | 0 < p < 40}, A ∩ B = {p | 10 < p < 30}, B \ A = {p | 30 贐 p < 40}.

Определение 4. Два элемента x и y называются упорядоченной парой, если указано, какой из этих элементов первый, какой второй и обозначают (x, y), при этом считается (x1, y1) = (x2, y2) ⇔ (x1 = x2, y1 = y2).

Определение 5. Декартовым произведением двух множеств A и B называется множество, обозначаемое A Ч B,

состоящее из всевозможных упорядоченных пар (x,y):

A Ч B = {(x,y) | ∀x ∈ A, ∀y ∈ B}.

Например, если A = {1,2,3}, B = {3,4}, то

A Ч B = {(1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4)}, B Ч A = {(3; 1), (3; 2), (3; 3), (4; 1), (4; 2), (4; 3)}.

Сравнивая A Ч B и B Ч A, видим, что в общем случае A Ч B ̸= B Ч A.

3.Аксиоматика мн-вадейств.чисел. Важнейш класс действ.чисел.

Определение 1. Множество R называется множеством действительных чисел, а его элементы действительными числами, если выполняется следующая система аксиом:

I .Аксиомы сложения.

(коммутативный закон)

(ассоциативный закон).

(существование в R нуля). (существование в R противоположного элемента).

||Аксиомы умножения.

(коммутативный закон).

(ассоциативный закон).

(существование нейтрального элемента).

(существование обратного элемента).

(дистрибутивный закон относительно сложения).

I II. Аксиомы порядка.

4.Лемма о верхней грани числового множества.

Л емма 1. Всякое ограниченное сверху непустое подмножество действительных чисел X имеет единственную точную верхнюю грань.Доказательство. Единственность верхней грани для множества X обеспечивается аксиомой III2. Докажем существование верхней грани для множества X. Обозначим через Y множество всех чисел, ограничивающих сверху множество X. Множество X ограничено сверху, поэтому множество Y не пусто. Каждый элемент y ∈ Yограничивает сверху множество X, следовательно, для любого элемента x ∈ X выполняется неравенство

Э лементы x и y являются произвольными элементами соответственно множеств X и Y , поэтому, в силу свойства непрерывностимножества действительных чисел, существует такое число β, что для любых x ∈ X и y ∈ Y имеет место неравенство Выполнение неравенства x≤ β для всех x ∈ X означает, что число β ограничивает сверху множество X,а выполнение неравенства β≤y для всех y ∈ Y , т.е. всех чисел, ограничивающих сверху множество X, означает, что число β является наименьшим среди всех таких, т.е. верхней гранью множества X