1.6 Линейные цепи при гармоническом воздействии

1.6.1 Общие сведения о гармонических колебаниях

Сигнал называется гармоническим, если мгновенные значения его величины

S (t) изменяются во времени по закону:

Этот сигнал иллюстрируется кривой, изображенной на рисунке 1.20.

Гармонический сигнал характеризуют:

₀ - амплитуда колебания, равная максимальному отклонению сигнала от среднего значения;

Т - период колебания, равный временному интервалу между двумя соседними максимумами;

Р ис. 1.20 Гармонический сигнал

f₀ = 1/T - частота колебания, измеряется в Гц, кГц, МГц;

₀ = 2f₀ = 2/T - угловая частота колебания;

t₀ - временной сдвиг сигнала относительно начала отсчета,

₀ = (2/T) t₀ = ₀ t₀ - начальная фаза сигнала или фазовый сдвиг

сигнала относительно начала отсчета.

Если воздействие на линейную цепь имеет вид одного или нескольких гармонических сигналов одинаковой частоты, то в стационарном режиме отклик на такое воздействие так же имеет характер гармонического сигнала той же частоты - принцип суперпозиции.

С реднее значение за период гармонического сигнала (u(t) или i(t), а в общем случае S(t)) равно:

Э нергия, выделяемая на резисторе за период Т, равна:

Д ействующие значения тока или напряжения:

Для упрощения анализа и расчета цепей переменного тока целесообразно использовать векторное представление сигналов.

П ри этом реальный сигнал представляет собой проекцию на веществен­ную ось вращающегося в комплексной плоскости с угловой частотой радиус -вектора длиной, равной амплитуде ₀ сигнала (рисунок 1.21).

Рис. 1.21 Векторное представление гармонического сигнала

Считается, что при положительной частоте ₀ вектор вращается против часовой стрелки.

Начальное угловое положение вектора ₀ соответствует начальной фазе сигнала.

Е сли требуется сложить два гармонических сигнала одинаковой частоты с разными фазами:

т о результат следует из тригонометрических преобразований для векторного сложения:

Д ля аналитических расчетов используют не векторное, а комплексное представление гармонических сигналов:

Комплексное числоv₀•exp(j•₀), не зависящее от времени называется комплексной амплитудой гармонического сигнала:

Т огда комплексный сигнал:

Комплексное представление сигналов позволяет значительно облегчить расчеты цепей переменного тока, так как обладает следующими свойствами:

1. Сложение гармонических сигналов.

Если есть два сигнала:

т о их можно представить в комплексной форме:

2 . Умножение сигнала на константу.

Если

т о

т .е.

Умножение комплексного сигнала на j соответствует сдвигу

вещественного сигнала по фазе на ± /2 , так как:

У множение комплексного сигнала на ехр(±/2) приводит к

изменению фазы вещественного сигнала на ± /2

3. Дифференцирование сигналов.

Если во временной области выполняется соотношение:

и справедливо представление в комплексной форме

S_K2(t) => S₂(t); S_K1(t)=> S,(t), т.e.

то справедливо соотношение

т огда справедливо:

Следовательно, операция дифференцирования гармонических сигналов

во временной области может быть заменена операцией умножения на j- в

к омплексной.

О чевидно, что

4. Интегрирование сигналов.

Если во временной области справедливо соотношение:

и в комплексной форме представления

то

Следовательно, интегрирование гармонического сигнала во временной области может быть заменено операцией деления комплексной амплитуды этого сигнала на j-₀ в комплексной.