42.Теорема о производной сложной функции.

ТЕОР: Если функция X= (t) имеет производную в точке T0, а функция Y=f(x) имеет производную в соответствующей точке X0= (T0), то сложная функция f[(t)] имеет производную в точке T0 и справедлива следующая формула: Y’(T0)=f ’(X0) ’ (T0).

Док–во: Так как функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, то приращение этой функции в точке X0 может быть записано в виде Y=f ’(X0) X+(X)X, где lim (X)=0. Поделив это равенство на T (T0), получим X/Y=f ’(X0) X/T+(X) X/T. Это равенство справедливо для любых достаточно малых. Возьмем X равным приращению функции X= (t), соответствующему приращению T аргумента t в точке T0, и устремим в этом равенстве T к 0. Так как по условию X= (t) имеем в точке T0 производную, то она непрерывна в этой точке.  По определению непрерывности функции в точке, X0 при T0. Но тогда (X) 0, т. е. имеем

lim((X) X/T)=lim (X) lim(X/T)=0’ (T0)=0. В силу этого соотношения существует предел правой части равенства X/Y=f ’(X0) X/T+(X) X/T при T0, равный f ’(X0) ’ (T0).  Существует предел при T0 и левой части этого равенства, который по определению производной равен производной сложной функции Y=f[(t)] в точке T0. Т. о., дифференцируемость сложной функции доказана и установлена формула Y’(T0)=f ’(X0) ’ (T0).

ЗАМ: теорема справедлива для суперпозиции 3 и более функций.

37.Теорема Коши.

ТЕОР: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, g’(x)  0. Тогда существует точка C(a, b) такая, что справедлива формула

f(b) – f(a) = f ’(c) .

g (b) – g(a) g’(c)

Док-во: Докажем сначала, что g(b) – g(a)  0, т. е., что формула имеет смысл. Действительно, если допустить, что g(b) = g(a), то (по Т Р) для функции g(x)  точка (a, b), в которой g’()=0.А это противоречит условию, что g’(x)  0 на (a, b).

Докажем формулу. Рассмотрим на [a, b] вспомогательную функцию

F(x) = f(x) – f(a) – (f(b) – f(a)) (g(x) – g(a)) .

g (b) – g(a)

Нетрудно заметить, что на удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1. F(x) непрерывна на [a, b];

2. дифференцируема на (a, b), кроме того, F(b) = 0 и F(a) = 0, т. е. F(a) = F(b)  (по Т Р) для функции F(x)  точка C, a<C<b, такая, что F’(c) = 0.

Так как F’(x) = f ’(x) – (f(b) – f(a))  g ’(x) , то F’(c) = f ’(c) - (f(b) – f(a))  g ’(c) .

g(b) – g(a) g(b) – g(a)

Учитывая, что g’(x)  0, получаем формулу f(b) – f(a) = f ’(c) .

g(b) – g(a) g’(c)

1. 