34. Теорема о сумме, произведении, частном непрерывных функций.

ТЕОР2: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке А. Тогда функции f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) (при g(A)0) также непрерывны в этой точке.

Док-во: Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке А, то lim f(x)=f(A) и lim g(x)=g(A) при хА. Тогда пределы функций f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) существуют и равны f(А)  g(А), f(А)  g(А), f(А) g(А) (при g(A)0). Но эти величины равны значениям функций в точке А. f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) непрерывны в точке А.

36.Точки разрыва функции.

ОПР1: Точка А называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в этой точке не является непрерывной функцией.

ОПР2: Классификация разрывов:

1. Точки устранимого разрыва.

2. Точки разрыва I рода.

3. Точки разрыва II рода.

ОПР3: Точка А – точка устранимого разрыва, если предел функции в этой точке существует, но функция в этой точке неопределена; либо предел функции в этой точке не равен значению функции в этой точке.

ОПР4: Точка А – точка разрыва I рода, если в этой точке функция имеет конечный правый предел, конечный левый предел, но они не равны между собой.

ОПР5: Точка А – точка разрыва II рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из пределов (правого или левого) или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

35. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

ТЕОР1: Пусть функция f(x) задана на множестве Х непрерывна в точке Х0Х и f(x)0. Тогда существует положительное число  такое, что для всех х(Х0 - , Х0+)Х функция имеет тот же знак, что и f(X0).

Док-во: Пусть f(X0)>0. Так как функция непрерывна, то для () () такое, что для (хХ: |X0-x|) выполняется неравенство |f(x) – f(X0)|<. Последнее неравенство в виде f(X0) - <f(x)<f(X0)+, оно выполняется для х(Х0 - , Х0 + ). Возьмем =f(X0)>0, тогда для х(Х0 - , Х0 + ) f(x)>0.

Если f(X0)<0, то рассмотрим функцию –f(x). Тогда –f(X0)>0 и существует  - окрестность точки Х0, в которой –f(x)>0.  f(x)<0.

34. I теорема Больцано – Коши.

ТЕОР1: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [A, B] и на концах сегмента имеет значения разных знаков. Тогда существует точка С(А, В) в которой f(C)=0.

Док-во: Пусть f(A)<0 и f(B)>0. Разделим сегмент [A, B] пополам. Если значение функции в середине сегмента равно 0, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных сегментов, на концах которого функция имеет значение разных знаков. Обозначим его [A1, B1]. Повторим деление. Если продолжать этот процесс неограниченно, то либо на к-ом шаге значение функции в середине сегмента [Aк, Bк] окажется равным 0. Либо получим последовательность [A, B]  [A1, B1]  [A2, B2] … [An, Bn]… вложенных сегментов, причем Bn – An = (В – А)/ 0 при n и на концах каждого сегмента [An, Bn] функция имеет значения разных знаков.  Существует точка С принадлежащая всем сегментам. Докажем, что f(C)=0.

ПП: Пусть f(C)>0, тогда существует окрестность точки С (по Т об устойчивости знака непрерыв Ф), в которой f(C)>0. В эту окрестность при большом n попадает сегмент [An, Bn].  На [An, Bn] будет выполняться неравенство f(x)>0, это противоречит тому, что на концах [An, Bn] функция имеет значения разных знаков (если f(C)<0 аналогично).