1. Числовой ряд. Частичная сумма ряда. Сумма ряда.

Пусть дана некоторая последовательность (Аn) числовым рядом будет называться выражение вида: . а₁ + а₂ + а₃ + …а_m+…

Числовой ряд – сумма бесконечного множества слагаемых. а₁ + а₂ + а₃ + …, где а₁, а₂, а₃ – это члены ряда.

Член ряда а_n с произвольным номером n называется общим членом.

Обозначение ряда:

∑An (сигма; сумма)

Пример:

∑2n/n! = 2+2+1+1/3+1/12+…

1+1/2_1/4+1/8+1/16+…=∑1/2^n-1

Частичной суммой ряда называется сумма первых n слагаемых (S_n=а₁+а₂+…+а_n – частичная сумма.

S = limSn)

Если существует предел частичных сумм ряда при n→∞, то предел называется суммой ряда, а сам ряд называется сходящимся.

Примечание: Если такого предела не существует или он равен ∞, ряд называется расходящимся.

Пример:

При n→∞ S_n→∞ (частичная сумма ряда стремящ-ся к бесконечности) ряд расходится.

Сходящиеся ряды используют для приближенных вычислений.

∑(-1)ⁿ = -1+1-1+1-1+…

S₁ = -1

S₂ = -1+1 = 0

S₃ = -1+1-1 = -1

S₄ = -1+1-1+1 = 0

(Sn): -1; 0; -1; 0; …

Примечание:

Сходящиеся ряды используют для приближенных вычислений.

Пример:

∑1/n! = 1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+… - сходится к числе е (основной натуральный логорифм)

∑(-1)ⁿ⁺¹/n = 1- 1/2+1/3-1/4+ 1/5 - … - сходится к log2.

2. Основные свойства числовых рядов.

1. Сходимость ряда не нарушается, если отбросить конечное число первых членов ряда или наоборот приписать в начале ряда конечное число слагаемых.

2. Если ряд сходится, то и ряд, полученный из него любой группировкой его слагаемых, тоже сходится.

3. Если ряд сходиться, то и ряд, полученный из него умножением всех слагаемых, на одно и тоже число, так же будет сходиться

4. Если ряд а_n сходится к числу А, а ряд b_n сходится к числу В, то и ряд составляющий (А_n+B_n) сходится к А+В

3. Необходимый признак сходимости ряда.

Теорема: Если ряд сходится, то n-ый член ряда является бесконечно малой величиной.

В краткой форме: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

∑An сходится, то limAn = 0

Доказательство: По условию ∑An сходится, т.е. lim Sn = S

Sn = a₁+a₂+ …+a_n-1+an → S при n →∞.

Sn-1 = a₁+a₂+ …+a_n-1 → S при n →∞.

An = Sn – Sn-1

lim An = lim (Sn – Sn-1) = lim Sn – lim Sn-1 = S-S = 0, что и требовалось доказать.

По условию ряд сходится, т.е. существует конечный предел S_n=S. Тогда имеет место также равенство S_n-1 =S, так как при n→∞ и (n-1) →∞. Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем S_n - S_n-1 = (S_n - S_n-1)=0, что и требовалось доказать.

Примечание: Признак является необходимым, но не достаточным для исследования ряда на сходимость, т.е. если а_n не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится, а если а_n →0, то сходимость ряда нам не известна и её надо исследовать с помощью достаточных признаков.

4. Сумма геометрической прогрессии.

Пример №1: 1,2,4,8,16,32,64….b₁=1 q=2

Пример №2: 1⅟₂ ; ⅟₄ ; ⅟₈ ; ⅟₃₂ ….. b₁=1 q=⅟₂

B_n=b_1*q^n-1

S_n=b₁(1-qⁿ)∕1-q=-(1-2⁶)=2⁶-1 (сумма первых членов геометрической прогрессии)

1) S_n=1(1-2)ⁿ∕1-2=-(1-2ⁿ)=2ⁿ-1

2)S_n=1(1-1∕2ⁿ)∕1-1∕2=2(1-1∕2ⁿ)

S_n= (2ⁿ-1)=∞

S_n= 2(1-1∕2ⁿ)=2

Теорема: если знаменатель геометрической прогрессии по модулю меньше единицы, то при n стремящейся к бесконечности сумма этой прогрессии сходится к числу S_n=b ₁ ∕1-q

S= b₁∕1-q

Доказательство: S_n=b₁+b₂….. b_n= b₁(1-qⁿ) ∕ 1-q

S= S_n= b₁(1-qⁿ) ∕ 1-q = b₁∕-q (1-qⁿ)

1)Если ≥1, то при n →∞ qⁿ – б/б, тогда b₁∕-q (1-qⁿ) =∞

2)Если ≤1, то при n →∞ qⁿ– б/ь, тогда b₁∕-q (1-qⁿ)= b₁∕ 1-q