Шпаргалка с нужными формулами

Достаточно частного решения (например при С=0)

при этом v выражение в скобке =0. Подставим найденное v в уравнение

заменяем v на найденное:

Домножим на dx обе стороны

проинтегрируем обе стороны

Шпаргалка с нужными формулами

1. (2)

1. 

2. 

(1)=(2)

Шпаргалка с нужными формулами

и перенесем в одну сторону и назовем их сумму С

Искомая функция представляет собой вид .

Подставим найденное ранее и найденное только что :

18. Уравнения Бернулли.

С помощью метода Бернулли решаются не только ЛДУ1п но и некоторые нелинейные уравнения. Например, уравнения вида:

Такие уравнения назвыются уравнениями Бернулли.

Пример:

Подстановку можно применять только к стандартному виду

*отдельно уравнения Бернулли мы не решали, а пример решения ЛДУ1п по методу Бернулли в вопросе 17

19. Восстановление функции z(X,y) по ее полному дифференциалу.

Пример:

Найти

Примечание:

• вычисляя производную по , переменную рассматриваем, как константу (число)

• вычисляя производную по , переменную рассматриваем, как константу (число)

Вопрос:

Всегда ли выражение является полным дифференциалом некоторой функции ?

Необходимое и достаточное условие существования полного дифференциала

Если и непрерывны в некоторой области D, то выражение является полным дифференциалом от функции , заданной на этой области В только тогда, когда выполняется равенство:

5=5

Примечание:

Таким образом, проверяя условие существования полного дифференциала , мы собственно проверяем равенство смешанных производных второго порядка.

Пример 2:

Определить, является ли выражение полным дифференциалом:

По общему виду определяем P и Q:

Поскольку 2x-0=2x-0, то существует такая функция, для которой выражение является полным дифференциалом.

Как найти эту функцию?

Восстановление функции по ее полному дифференциалу.

Наш предыдущий пример:

найти функцию

Очевидно, что

­­­пусть – фиксированное (рассмотрим как константу), тогда

(двойки отсюда сократим)

При фиксированном y получаем:

При разных – разное , то есть эта константа-не константа, а функция от y.

Чтобы ее найти, вспомним, что :

Подставим найденное в уравнение функции и получим ответ.

Ответ:

Алгоритм восстановления функции по ее полному дифференциалу

1. Проверка условия

2. – фиксированное ; , тогда

3. находим из условия

4. Подставить C(y) в

20. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнения вида называется уравнением в полных дифференциалах, если

Решение:

Чтобы найти , восстанавливаем функцию по ее полному дифференциалу.

Алгоритм:

1. Проверка условия

Если это условие не выполняется, то уравнение НЕ является уравнением в полных дифференциалах, и его надо решать другим способом.

2. Восстановить функцию по ее полному дифференциалу

   1. ,где – фиксированное (константа)

   2. находим из условия

3. Общее решение

Пример:

1. Проверка условия

это уравнение в полных дифференциалах.

2. - фиксированное, , тогда

2.1

3. - функция

Общее решение:

(где )