14. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям: процесс изменения массы.

Физический смысл производной:

– скорость изменения функции y в момент времени x.

Используя физический смысл производной с помощью дифференциальных уравнений можно описывать и изучать реальные физические процессы.

Процесс органического роста

Пусть объем популяции в момент времени (количество бактерий или кроликов). Скорость роста популяции пропорциональна ее объему. (чем больше животных, тем больше приплод)

Найдем общее решение дифференциального уравнения.

Примечание:

k – коэффициент пропорциональности, зависящий от конкретного вида биологической популяции. Он определяется из начальных условий.

Домножим обе части на dx; разделим обе части на y.

Шпаргалка с нужными формулами

Проинтегрируем обе части:

Так как k – коэффициент, мы можем вынести его перед знаком интеграла:

– ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ уравнения роста популяции.

Задача:

1 палочник за 10 месяцев произведет на свет 40 клонов. У Марка 3 палочника. Сколько палочников будет у Марка через год?

Ответ: через год у Марка будет 251 палочник.

15. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям: процесс выравнивания температур.

По закону Ньютона скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и среды.

Процесс выравнивания температур

Пусть тела в момент времени ; среды. Скорость выравнивания пропорциональна разности тела и среды.

- чем больше разность, тем быстрее меняется .

Найдем функцию, удовлетворяющую данному дифференциальному уравнению.

Разделим обе части на ; затем умножим обе части на dx.

Проинтегрируем обе части:

– ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ уравнения выравнивания температур.

Задача:

Сколько времени понадобится, чтобы пирог, нагретый в духовке до 100 охладился до 25 в комнате с t =20С , если до 60 он охладился за 10 минут?

Ответ: пирог остынет до 25 за 40 минут.

16. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения вида называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.

Обе части домножим на dx, разделим на g(y)

проинтегрируем обе части

Решение задач с помощью дифференциальных уравнений

D C – поднормаль, AD – подкасательная

Дано:

точка (-1,-2) y(-1)=-2

поднормаль во всех точках=2 (DС=2)

Найти y=f(x)

1. из треугольника BDC

– дифференциальное уравнение

домножим на dx

Шпаргалка с нужными формулами

разделим на y

проинтегрируем обе части

– общее решение

3. по начальным условиям y(-1)=-2.

Найдем частное решение

подставить значение точки

4+С

Частное решение:

17. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

Линейным дифференциальным уравнением 1 порядка (ЛДУ1п) называется уравнение вида:

Пример:

ЛДУ1п делятся на однородные и неоднородные.

• Однородные ЛДУ1п:

• Неоднородные ЛДУ1п:

Одним из методов решения ЛДУ1п является метод Бернулли.

Используя подстановку , можно свести решение ЛДУ1п к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

, тогда

Подберем функцию так, чтобы скобка равнялась 0.

Умножим обе сторон на dx и разделим на v:

Проинтегрируем обе стороны: