5. Гармонический ряд.

Гармоническим называется ряд вида:

∑1/n = 1+1/2+1/3+…

Теорема.

Гармонический ряд расходится.

Доказательство:

∑1/n = 1+1/2+[1/3+1/4]+[1/5+1/6+1/7+1/8]+[1/9+… > 1+1/2+[1/4+1/4]+[1/8+1/8+1/8+1/8]+[1/16+… = 1+1/2+1/2+…

Аn →0 при n →∞, не выполняется необходимый признак сходимости ряда, т.к. меньший ряд расходится, так и больший (гармонический) тоже расходится по 1 признаку сравнения.

Обобщенным гармоническим рядом называется ряд вида ∑1/n² , α€R(любое число)

С помощью интегрального призрака можно доказать, что обобщенный гармонический ряд (ОГР) сходится при α>1 и расходится при α≤1.

6. Исследование знакоположительных рядов на сходимость. Первая и вторая теорема сравнения.

Пример: ∑n/2n+1 = 1/3+2/5+3/7+4/9+… знакоположительный ряд

∑(-2/3)ⁿ = -2/3+4/9 – 8/27+… знакопеременный ряд

Знакоположительный ряд – это ряд все слагаемые, которого положительные числа. ∑Аn - знакоположительный ↔ n(квантор общности «для всех») Аn > 0.

Критерий сходимости знакоположительных рядов.

Чтобы знакоположительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

Доказательство: Если ряд знакоположительный, то последовательность его частичных сумм возрастает.

Необходимо: по условию ∑Аn сходится т.е. (существует или найдется)lim Sn = S и (Sn) возрастает, тогда n Sn < S → (Sn) ограничена.

S1 S2 S3 S

Достаточность: 1) по условию (Sn) ограничена сверху. 2) (Sn) возрастает (Sn) сходится → lim Sn = S

Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то по теореме Вейерштрапса она сходится.

Примечание: достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов являются следствиями этого критерия.

1 Признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда ∑Аn и ∑Вn для которых выполняется условие

n Аn≤Вn, тогда: 1) если Вn – сходится →Аn – сходится (из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда). 2) из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего.

Доказательство: 1) по условию ∑Вn- сходится → lim Bn = B n An ≤ Bn, тогда n An ≤ Bn < В → (Аn) ограничена сверху числом В, а по критерию → ∑An – сходится.

2) если ∑Вn- сходится, то ∑An – сходится → ∑An – расходится, то ∑Вn – не может сходится.

Пример: ∑2n/3ⁿ+5 исследуем на сходимость.

∑(2/3)ⁿ- сходится, т.к. сумма геометрической прогрессии, |q| = 2/3 < 1. n (2/3)ⁿ > 2n/3ⁿ+5?, тогда по 1 признаку сравнения ∑2n/3ⁿ+5 – сходится.

2 Признак сравнения.

Если для знакоположительных рядов ∑Аn и ∑Вn существует lim An/Bn, то ряды ведут себя одинаково (т.е. или оба сходятся или оба расходятся).

Пример: ∑2ⁿ/3ⁿ+5 – исследуем.

Сравним с ∑(2/3)ⁿ – сходится как сумма геометрической прогрессии по |q| < 1.

lim (2ⁿ/3ⁿ+5: (2/3)ⁿ) = lim 2ⁿ *3ⁿ /(3ⁿ+5) * 2ⁿ = lim 3ⁿ /3ⁿ +5|:3ⁿ = lim 1/1+(5/3ⁿ) = 1 → ряды ведут себя одинаково и данный ряд тоже сходится.

7. Исследование знакополож.Рядов. Признак Даламбера и Коши.

Знакоположительный ряд-ряд, все слагаемые которого- положительные числа.

Сумма а n-e знакоположительн. n-е >0/

Критерии сходимости знакополож.рядов:

Чтобы знакополож.ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. ( -последовательность его частичных сумм)

Доказательство:

знакоположительн ряд, значит -возрастает.

Необходимость:

По условию ряд -сходится, т.е.

и возрастает, тогда частичная сумма с предельной суммы ряда

Последовательность

Достаточность:

1. По условию

2. Последовательность частичных сумм возрастает.

Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то по теореме Вейерштрасса она сходится, имеет предел.

Примечание: Достаточные признаки сходимости знакоположит.рядов являются следствием этого критерия.

ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА

Если для знакоположит.ряда существует предел отношения к , тогда при d<0 ряд сходится, а при d>0-расходится.

= d

Примечания: 1.При d=1 признак ответа не даети для исследования ряда надо применять другой признак сходимости.

2. из 1-го следует =g

Пример применения

-?

=

= =

d=lim = Lim =1/3 =1/3 = 1/3 =1/3*e=e/3

ПРИЗНАК КОШИ

Если для знакоположит.ряда существует предел =k, при к<1, ряд сходится, при к>1-расходится. При к=1-признак ответа не дает.

Примечание: ряд вида =

= =g

Пример применения:

=

lim =lim -вся формула под корнем= =

4 = 4*е>1-расходится.