34.Розвиток алгебри в роботах Гауса,Ейлера, Лагранжа

Ейлер залишив важливі праці по різним галузям математики , механіки, фізики та інш прикладних наук. Одна з основних заслуг Ейлера перед наукою – монографія «Вступ в аналіз нескінченно малих». Основа натур логарифмів була відома ще з часів Непера і Бернуллі. Однак Ейлер дав досить глибоке дослідження цієї константи, що з тих пір вона носить його ім’я. Ейлер значно доповнив теорію рядів і поширив її на комплексну область, вперше просумував ряди. Завдяки ньому була сформована повна теорія неперервних дробів, аналітичний фундамент механіки, методи інтегрування і розв’язування диф. рівнянь, число е, позначення «і» для уявної одиниці.

Жозеф Луї Лагранж відомий франц математик і механік. Йому вдалось успішно розробити багато важливих питань матем аналізу. Лгранж вніс великий вклад в різні області матем, включаючи варіаційне числення, теорію диф. р-нь, розв’язування задач на знаходження максимуму і мінімуму, терію чисел (теорема Лагранжа), алгебру і теорію ймовірностей. Відкрив правила знаходження похідних . які ґрунтуються виключно на алгебраїчних діях із степеневими рядами. За допомогою свого методу він знайшов похідні від функцій x^m, ax,loga^x, sinx, cosx.

В алгебрі Ґауса цікавила насамперед основна теорема. До неї він не раз повертався і дав понад шість різних її доведень. Усі вони були опубліковані в працях ученого у 1808—1817. У цих працях були дані вказівки відносно кубічних і біквадратичних лишків. Теореми про біквадратичні лишки розглядаються в працях 1825—1831. Ці праці значно розширили теорію чисел завдяки введенню так званих цілих Ґаусових чисел, тобто чисел виду а + bi, де а і b — цілі числа. У зв'язку з астрономічними обчисленнями, що ґрунтуються на розкладанні інтегралів відповідних диференціальних рівнянь у нескінченні ряди. Ґаус дослідив питання про збіжність нескінченних рядів, які він пов'язав з вивченням т. зв. гіпергеометричного ряду («Про гіпергеометричний ряд», 1812). Головне значення цього ряду полягає в тому, що він містить як окремі випадки багато з відомих трансцендентних функцій, що мають широке застосування.

35. Г.Крамер та його метод розвязування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

«Вступ до аналізу алгебраїчних кривих» — найвідоміша з робіт Крамера. У ньому вперше доводиться, що алгебраїчна крива n-го порядку в загальному випадку цілком визначена, якщо задані її n (n + 3) / 2 точок. Для доказу Крамер будує систему лінійних рівнянь і вирішує її за допомогою алгоритму, названого пізніше його ім'ям: метод Крамера.

Крамер розглянув систему довільної кількості лінійних рівнянь з квадратною матрицею. Рішення системи він представив у вигляді стовпця дробів із спільним знаменником — визначником матриці. Крамер дав точний алгоритм його обчислення: алгебраїчна сума всіляких творів елементів матриці, по одному з кожного рядка і кожного стовпця.

Крамер провів класифікацію алгебраїчних кривих до п'ятого порядку включно.

Правило Крамера якщо основний визначник  неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами  (1) де  – допоміжний визначник, який одержується з основного визначника  – шляхом заміни його k-го стовпця стовпцем вільних членів системи. Отже: Якщо  , то система матиме єдиний розв’язок (1). Якщо  , то система або невизначена, або несумісна(система буде несумісною – не матиме жодного розв’язку, якщо хоча б один з  ) . Якщо ж  і  , то система матиме безліч розв’язків. Перед розв’язком даних систем лінійних рівнянь потрібно перевірити необхідні умови застосування методу Крамера: 1. Кількість рівнянь системи дорівнює кількості невідомих. 2. Визначних основної матриці системи не дорівнює нулю

36. Джордж Буль (2 ноября 1815— 8 декабря 1864) — английский математик і логік. Профессор математики Королевского колледжа Корка (ныне Университетский колледж Корк) с 1849. Один из предтеч математической логики.

Наукова діяльність

Публіці Буль був відомий в основному як автор ряду важких для розуміння статей на математичні теми і трьох або чотирьох монографій, які стали класичними.

Публікація першої статті («Теорія математичних перетворень», 1839) привела до дружби між Булем і Д. Ф. Грегорі (редактором «Кембриджського математичного журналу», де стаття була опублікована), що тривала до самої смерті останнього. У цей журнал і наследовавший йому «Кембриджський і дублінський математичний журнал» Буль представив двадцять дві статті.

Шістнадцять його статей були опубліковані в «Філософському журналі», шість мемуарів - в «Філософські праці, ряд інших - у «Працях Королівського товариства Единбурга і Королівської Ірландської академії», у «Віснику С.-Петербурзької академії» та в журналі Крелля . Цей список доповнює публікація 1848 року в «Журналі механіка» (Mechanic's Magazine) про математичні засади логіки.Всього Булем було опубліковано близько п'ятдесяти статей в різних виданнях і кілька монографій.

Незабаром після того як Буль переконався, що його алгебра цілком застосовна до логіки, в 1847 році він опублікував памфлет «Математичний аналіз логіки», в якому висловив ідею, що логіка більш близька до математики, ніж до філософії. Ця робота була надзвичайно високо оцінена англійським математиком Огастес (Августустом) Де Морганом. Завдяки цій роботі Буль в 1849 році отримав посаду професора математики Куїнз-коледжу в графстві Корк, незважаючи на те, що він навіть не мав університетської освіти.

У 1854 році опублікував роботу «Дослідження законів мислення, що базуються на математичній логіці і теорії ймовірностей». Роботи 1847 і 1854 років поклали початок алгебрі логіки, або булевої алгебри. Буль першим показав, що існує аналогія між алгебраїчними і логічними діями, так як і ті, й інші припускають лише два варіанти відповідей - істина чи брехня, нуль або одиниця. Він придумав систему позначень і правил, користуючись якими можна було закодувати будь-які висловлювання, а потім маніпулювати ними як звичайними числами. Булева алгебра мала у своєму розпорядженні трьома основними операціями - І, АБО, НЕ, які дозволяли виробляти додавання, віднімання, множення, ділення і порівняння символів і чисел. Таким чином, Булю вдалося детально описати двійкову систему числення. У своїй роботі «Закони мислення» (1854 р.) Буль остаточно сформулював основи математичної логіки. Він також спробував сформулювати загальний метод ймовірностей, за допомогою якого із заданої системи ймовірних подій можна було б визначити вірогідність подальшого події, логічно пов'язаного з ними.

У 1857 році Буль був обраний членом Лондонського Королівського товариства. Його роботи «Трактат про диференціальних рівняннях» (1859 р.) і «Трактат про обчислення граничних різниць» (1860 р.) зробили колосальний вплив на розвиток математики. У них знайшли своє відображення найбільш важливі відкриття Буля.