33. Основні напрямки математики 19 ст.

Геометрія. В цілому в XIX столітті роль і престиж математики в науці помітно зростають. Якщо XVIII століття було століттям аналізу, то XIX століття переважно стало століттям геометрії. Швидко розвиваються створені в кінці XVIII століття нарисна геометрія ( Монж, Ламберт) і відроджена проективна геометрія (Монж, Понселе, Лазар Карно). З'являються нові розділи: векторне числення та векторний аналіз, геометрія Лобачевського, багатовимірна ріманова геометрія, теорія груп перетворень. Відбувається інтенсивна алгебраізація геометрії - в неї проникають методи теорії груп, в кінці століття - топології, виникає алгебраїчна геометрія.

Математичний аналіз.

Найбільш істотною зміною стало створення фундаменту аналізу (Коші, потім Вейерштрасс). Коші побудував фундамент аналізу на основі теорії границь. Широкий розвиток отримала теорія аналітичних функцій комплексної змінної, над якою працювали Лаплас, Коші, Абель, Ліувілль, Якобі, Вейерштрасс та інші. Значно розширився сам клас спеціальних функцій, особливо комплексних.Численні прикладні завдання стимулювали теорію диференціальних рівнянь, що виросла математичну дисципліну. Детально досліджено основні рівняння математичної фізики, доведені теореми існування рішення, створена якісна теорія диференціальних рівнянь (Пуанкаре). До кінця століття відбувається деяка геометризація аналізу - з'являються векторний аналіз, тензорний аналіз, досліджується нескінченно вимірні функціональні простори (банаховий простір, Гільбертів простір).

Алгебра та теорія чисел.

Намічені у Ейлера аналітичні методи допомогли вирішити чимало важких проблем теорії чисел. Гаусс дав перше бездоганне доведення основної теореми алгебри. Жозеф Лиувилль довів існування нескінченної кількості трансцендентних чисел. У 1873 році Шарль Ерміта публікує доказ трансцендентності числа Ейлера e, а в 1882 році Ліндеман застосував аналогічний метод і до числа π. Формується поняття лінійного простору (Грассман і Келі). У 1858 році Келі публікує загальну теорію матриць, визначає операції над ними, вводить характеристичний многочлен. До 1870 році довів всі базові теореми лінійної алгебри, включаючи приведення до Жорданової нормальної форми.

Теорія ймовірностей

На перше місце виходять теорія похибок, статистика. Цим займалися Гаусс, Пуассон, Коші. Була виявлена важливість нормального розподілу як граничного в багатьох реальних ситуаціях. У всіх розвинених країнах виникають статистичні департаменти суспільства. Завдяки роботам Карла Пірсона виникає математична статистика з перевіркою гіпотез і оцінкою параметрів.

Математична логіка.

Британські математики Август (Огастес) де Морган і Джордж Буль створили математичну логіку як теорію класів, з теоретико-множинними операціями.

У роботі "Формальна логіка" (1847) де Морган описав поняття універсуму і символи для логічних операторів, записав відомі "закони де Моргана". Пізніше він ввів загальне поняття математичного відношення та операцій над відношеннями. Джордж Буль У своїх роботах 1847 - 1854 років заклав основи сучасної математичної логіки і описав алгебру логіки (булеві алгебру). З'явилися перші логічні рівняння, введено поняття конституенти (розкладання логічної формули). Чарльз Пірс в кінці XIX століття виклав загальну теорію відносин і пропозиційних функцій, а також ввів квантори. Сучасний варіант символіки запропонував Пеано.