Тема 2. Системы координат. Действия над векторами в координатной форме

10. Декартова система координат

Введение базиса в пространстве позволяет перейти от геометрических соотношений между векторами к соотношениям между их координатами. Однако базисов бесконечно много. Кроме этого, бесконечно много точек, в которых мы можем совместить начала векторов. Поэтому вводят понятие системы координат.

Определение. Система координат – совокупность фиксированной точки, называемой началом координат, и фиксированного базиса.

Чаще всего на практике используют прямоугольную декартову систему координат (ПДСК). Тогда в качестве базисных векторов фиксируют единичные векторы, которые попарно параллельны. На плоскости приходим к системе координат .

Рассмотрим декартову систему координат в пространстве. В качестве базисных векторов выбираем векторы , считая , . Такой базис называют ортонормированным, а векторы – ортами координатных осей.

Всюду далее будем рассматривать правую тройку базисных векторов , т.е. с конца вектора поворот до положительного направления «видим» как движение против часовой стрелки (в случае левой тройки это движение «видим» по часовой стрелке).

Точку О, в которой совмещены начала всех базисных векторов, называют началом координат.

Ось, на которой лежит ось абсцисс;

ось ординат;

ось аппликат.

В пространстве ПДСК имеет три плоскости: . Эти плоскости делят трехмерное пространство на 8 частей – октантов. I-й октант тот, где направления положительны.

20. Переход к координатным соотношениям между векторами

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат в пространстве с базисом . Используя понятие разложения вектора по базисным векторам и понятие координат в базисе, получаем

, т.е. .

Аналогично:

; .

Вектор, начало которого совпадает с началом системы координат называется радиус-вектором.

Согласно общей теории всякий вектор можно однозначно разложить по базисным векторам (по базису)

.

30. Действия над векторами в координатной форме

Рассмотрим векторы , .

Геометрически вектор является диагональю прямоугольного параллелепипеда, который имеет измерения . Согласно теореме из стереометрии для длины диагонали выполняется

,

,

. (1)

Поскольку координаты вектора в ПДСК – проекции на соответствующие оси, то согласно свойствам линейности проекции:

;

.

Рассмотрим задание вектора координатами начала и конца , .

Построим векторы и :

; .

Согласно правилу вычитания векторов:

(2)

Формула (2) – формула вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.

Допустим, что некоторый отрезок делится точкой в отношении , т.е. . Произведя соответствующие построения в ПДКС можно доказать следующие формулы для нахождения координат точки :

(3)

При точка будет серединой отрезка.

Определение. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов , которые образует этот вектор с координатными осями , , соответственно.

Используя формулу для проекции вектора на ось имеем:

(4)

(5)

Из формул (5) можно найти углы, которые образует вектор с координатными осями.

Если равенство (5) возвести в квадрат и сложить, получим

.

Рассмотрим единичный вектор . Тогда из (4)

Последнее означает, что координаты всякого единичного вектора равны направляющим косинусам.

Если , то существует число такое, что . Тогда

, ,

, .

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.