50 Базис
В физике встречаются
задачи, когда действия двух сил
заменяется результирующие силой (суммой
векторов). Встречается и обратная задача,
когда действие силы
нужно выразить через
и
.
Понятие разложения вектора по другим
векторам широко используется в математике.
Определение 1. Вектор называется разложенным по векторам , если он представлен в виде линейной комбинации
,
(1)
В пункте 40 (следствие 3) отмечено, что всякие три вектора плоскости являются линейно зависимыми.
Теорема 1. Всякий вектор плоскости можно единственным образом разложить по двум неколлинеарным векторам.
Доказательство.
Пусть
не ||
,
третий
заданный вектор. Совместим начала всех
трех векторов. Спроектируем
на направление
,
причем проектирование проводим
параллельно
.
Аналогично на
направление
.
В первом случае
получаем вектор
,
,
во втором -
,
.
Из определения суммы векторов по правилу параллелограмма получаем
(2)
Согласно (1) это означает, что вектор разложен по векторам .
Докажем единственность такого разложения.
Допустим, что
существует еще одно разложение, где
(3)
Вычтем (3) из (2)
(4)
При рассмотрении
общего случая
из (4) получаем
(5)
Пришли к противоречию, т.е. разложение единственное. При этом учитывали, что по условию не || , т.е. равенство (4) может выполнятся только при условии (5).
Теорема 2. Всякий вектор пространства можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам.
Доказательство
аналогичное доказательству теоремы 1.
Совмещаем начало всех четырех векторов
и заданный вектор проектируем на
направления векторов
.
Далее рассматриваем вектор
как сумму полученных геометрических
проекций по правилу параллелепипеда
(т.е.
диагональ
параллелепипеда ). Доказываем
единственность.
Определение 2. Базисом на плоскости называется всякая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.
Определение 3. Базисом в пространстве называется всякая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Общим для понятия базиса на плоскости и в пространстве является линейная независимость векторов. Их упорядоченность означает, что определенный вектор считается первым, некоторый – вторым и третьим. Теорема 1 означает, что всякий вектор в пространстве можно единственным образом разложить по базису. Теорема 2 означает, что всякий вектор в пространстве можно единственным образом разложить по базису.
Рассмотрим базис
в пространстве (векторы необязательно
единичные, каждый из них как бы задает
единицу длины в своем направлении).
Определение 4. Координатами вектора в базисе называют числовые коэффициенты в разложении вектора по базису
(6)
Координаты вектора записывают
(7)
т.е. как упорядоченную тройку чисел. Аналогично вводятся координаты вектора на плоскости как упорядоченная пара чисел.
Допустим, что
вектор
задан в виде (6), т.е. имеет координаты
(7) и задан вектор
(8)
Рассмотрим сумму
.
Для этого сложим равенства (6) и (8).
Приведя подобные получим
(9)
Из (9) следует, что координаты вектора-суммы равны сумме координат векторов-слагаемых
.
Аналогично можно доказать, что при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число, а также, что равные векторы имеют равные координаты, т.е.
;
