Тема 3. Произведение векторов
10. Скалярное произведение векторов
К линейным операциям над векторами относятся сложение векторов и умножение вектора на число. Скалярное произведение не относится к линейным операциям.
Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
.
(1)
«Скаляр» (лат.) – число.
Скалярное
произведение обозначают еще
.
Свойства скалярного произведения:
1)
– коммутативность;
2
)
;
3
)
;
свойства линейности.
4)
,
откуда
;
5)
,
следовательно,
;
6)
Пусть
.
Вектор
перпендикулярен вектору
тогда и только тогда, когда
.
Свойства 1, 3 – 5 следуют из определения.
Докажем свойство 6.
Необходимость.
Допустим
.
Тогда
.
Достаточность.
Пусть
.
Из формулы (1),
которая определяет скалярное произведение
можно найти угол
между векторами.
Пусть
.
Тогда
.
(2)
Далее находим
через
.
Получим формулы скалярного произведения в координатной форме. Допустим, что заданы два вектора
.
Это означает, что
в системе координат
они имеют разложения:
,
(3)
.
(4)
Перемножим равенства (3) и (4) скалярно, пользуясь свойствами 1) – 4) скалярного произведения. Получим
Получили формулу вычисления скалярного произведения векторов в координатной форме
.
(5)
Используя формулу (5) запишем формулу (2) в координатной форме
.
20. Векторное произведение
В результате векторного произведения получаем вектор.
Определение 1.
Векторным
произведением векторов
и
называется вектор, обозначаемый
или
и удовлетворяющий следующим трем
условиям:
1)
;
(1)
2)
и
;
3) векторы
образуют правую тройку векторов
Правая часть равенства (1) геометрически задает площадь параллелограмма, построенного на векторах , . Значит модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах , .
Свойства векторного произведения:
1)
;
2)
;
3)
;
;
4) два ненулевых вектора , коллинеарны тогда и только тогда, когда
.
Доказательство следует из определения 1.
Допустим векторы , заданы в координатной форме:
.
Можно доказать формулу вычисления векторного произведения в координатной форме:
.
(2)
В правой части равенства (2) – определитель. Раскладывая его по первой строке, получим координаты вектора, равного векторному произведению.