Задача Условие задачи.

Было произведено 846 измерения силы тока на выходе нормирующего преобразователя П-282. Результаты разбиты на 14 интервалов шириной  = 0.003 мА и переведены в таблице, где указано и число измерений Ni в каждом интервале и границы интервалов в мА.

Таблица 1.

i , номер интервала измерений	I нач , мА, начальное значение интервала измерений.	I кон, мА, конечное значение интервала измерений	N i , число измерений на данном интервале
1	4,989	4,992	18
2	4,992	4,995	29
3	4,995	4,998	42
4	4,998	5,001	61
5	5,001	5,004	79
6	5,004	5,007	94
7	5,007	5,01	100
8	5,01	5,013	102
9	5,013	5,016	92
10	5,016	5,019	82
11	5,019	5,022	57
12	5,022	5,025	44
13	5,025	5,028	29
14	5,028	5,031	17

Постойте гистограмму статистического ряда, и определить соответствие её нормальному закону распределения.

Решение

Необходимо найти такую кривую, которая опишет максимально точно статистическое распределение. Так как мы производим выравнивание нормальным законом распределения, то необходимой расчётной формулой будет:

W(x) = (1/(  2))  exp( -(x-x^~)²/(2² ))

Основными числовыми характеристиками являются дисперсия и оценка математическое ожидание. Которые должны быть равны их статистическим значениям. В нашем случае среднее значение вычисляется по формуле:

_k

x^~=  x ip i

i=1

p i - частота разряда, вычисляющаяся по формуле

p i = n i /n

x i - середина интервала i-ого разряда

После подсчётов получаем оценку математического ожидания равным:

x^~= 5,01

Дисперсия

_k

D^~=  (x-x^~)²p i

i=1

После подсчётов получаем значение дисперсии равным:

D^~= 0,00008399

Находим средне квадратичное отклонение по формуле:

 =  D^~

^{ = 0,00008399 = 0,009165}

^{Подставим полуученые данные в уравнение для нормального закона распределения:}

W(x) = (1/( 0,009165 2))  exp( -(x-5,01)²/(20,009165² )) =

=43,54* exp( -(x-5,01)²/(0,000168)

На рисунке 1 представлены искомая гистограмма и кривая распределения.

Прямоугольники, составляющие гистограмму имеют в основании шаг интервала измерений, а их площадь равна :

Pi = li i , где

Pi - частота i-ого разряда,

i – ширина интервала измерений,

li – высота i-ого прямоугольника в гистограмме.

Данные вычислений приведены в таблице 2.

Таблица 2.

I нач, мА, начальное значение интервала измерений.	I кон, мА, конечное значение интервала измерений	I ср, мА , среднее значение интервала измерений	Pi , частота i-ого разряда	Xi~ , оценка мат.ожидание i-ого интервала	li – высота i-ого прямоугольника в гистограмме	Di , дисперсия i-ого интервала
4,989	4,992	4,9905	0,02128	0,1062	7,092	0,00000809
4,992	4,995	4,9935	0,03428	0,1712	11,43	0,000009332
4,995	4,998	4,9965	0,04965	0,2481	16,55	0,000009048
4,998	5,001	4,9995	0,07210	0,3605	24,03	0,000007949
5,001	5,004	5,0025	0,09338	0,4671	31,13	0,000005253
5,004	5,007	5,0055	0,1111	0,5562	37,04	0,00000225
5,007	5,01	5,0085	0,1182	0,592	39,4	0,000000266
5,01	5,013	5,0115	0,1206	0,6042	40,19	0,0000002713
5,013	5,016	5,0145	0,1087	0,5453	36,25	0,000002202
5,016	5,019	5,0175	0,0969	0,4863	32,31	0,000005452
5,019	5,022	5,0205	0,06738	0,3383	22,46	0,000007428
5,022	5,025	5,0235	0,05201	0,2613	17,34	0,000009479
5,025	5,028	5,0265	0,03428	0,1723	11,43	0,000009332
5,028	5,031	5,0295	0,0201	0,1011	6,698	0,000007641

Определим значение аргумента, для границ всех интервалов. Так как самый удобный способ построения кривой распределения – это путём вычисления значений на границах интервалов.

Xi гр =( x i - x^~) / 

Возможно нахождение значения функций соответствующих значений Xi гр по формуле:

fгр(Xi гр) = (1/(2))  exp( -( Xi гр)²/2)

^{Данные вычислений приведены в таблице 3.}

^{Таблица 3.}

Xi , мА , граничные значения интервалов измерения	Xi гр , значения аргумента для границ интервалов	Fгр(Xi гр), значения функции для соответствующих значений Xi гр	Fгр(Xi гр)/, значения плотности распределения Xi на границах интервалов
4,989	-2,291	0,0289	3,412
4,992	-1,964	0,058	9,087
4,995	-1,637	0,1046	13,41
4,998	-1,309	0,1693	20,34
5,001	-0,982	0,2464	27,61
5,004	-0,6547	0,322	34,02
5,007	-0,3273	0,3782	38,37
5,01	0	0,399	39,94
5,013	0,3273	0,3782	38,37
5,016	0,6547	0,322	34,02
5,019	0,982	0,2464	27,61
5,022	1,309	0,1693	20,34
5,025	1,637	0,1046	13,41
5,028	1,964	0,058	9,087
5,031	2,291	0,0289	3,412

Из рисунка 1 видно, что статистическая кривая распределения сохраняет особенности статистического распределения.