6.7 Вычисление интеграла методом Гаусса
Узлы
—
корни множеств
Лежандра
степени n.
Так как концы [a, b] не входят в число узлов , то интегрирование по Гауссу удобно для вычисления несобственных интегралов. Используем восемь узлов (n = b);
Sub Гаусс_8 узлов ()
Dim x (1 to 8) As Single, A(1 to 8) As Single
x (1) = -0.96028986
x (2) = -0.96028986
x (3) = -0.96028986
x (4) = -0.96028986
A(1) = 0.10122854
A(2) = 0.10122854
A(3) = 0.10122854
A(4) = 0.10122854
A1 = .5 * (A + B) : A2 = .5 * (B - A) : G = 0
for i = 1 to 4
x = A1 + A2 * x (i)
call funk (x, y)
G = G + A(i) * y
next i
for i = 1 to 4
x = A1 – A2 * x (5 - i)
call funk (x, y)
G = G + A (5 - i) * y
next i
G = G * A2
i = MsgBox (G, 1, “Интеграл по Гауссу = ”)
end Sub
Sub funk (x, y)
y = x * x
end funk
Отметим, что точна для полиномов до (2n - 1) степени, то есть до 15-й степени.
Варианты заданий
Задание 1. Метод вычисления интеграла выбирает преподаватель. Рекомендуется вычислить интеграл несколькими методами и сравнить результаты вычислений. Оцените допущенную погрешность. Вычисления производить с четырьмя десятичными знаками.
№ |
Интеграл |
Первообразная функция |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
Задание 2. Разделив отрезок интегрирования на n равных частей, вычислить приближенное значение определенного интеграла:
-методом прямоугольников;
-методом трапеций;
- по формуле Симпсона;
- методом Ромберга.
Во всех трех задачах оценить допущенную погрешность. Вычисления производить с четырьмя десятичными знаками.
№ |
Интеграл |
n |
1 |
|
10 |
2 |
|
12 |
3 |
|
8 |
4 |
|
10 |
5 |
|
12 |
6 |
|
8 |
7 |
|
10 |
8 |
|
12 |
9 |
|
8 |
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте задачу численного интегрирования
2. Задача численного интегрирования решена методом трапеций. Предложите и обоснуйте пути повышения точности (погрешности) расчетов.
3. Сравните метод трапеций, метод Симпсона и метод Ромберга.
4. Метод средних, левых и правых прямоугольников. Что можно сказать об их погрешности, трудоемкости?