23. Нові відкриття в алгебрі Жерара

Головна праця А. Жереара “Нові відкриття в алгебрі”(1629) відзначається тим, що тут вперше явно прийняті і використані відємні і комплексні корені рівнянь, їм надано геометричної інтерпретації. Відємні корені Жірар називав “розвязки з мінусом” геометрично тлумачив їх як “рух назад”. На запитання для чого потрібні комплексні корені, відповідав: 1. Надати достовірність загальному правилу. 2. Оскільки інших розв’язків намає. 3. Вони корисні.

Використаня комплексних коренів рівняння дало змогу Жірару побудувати теорію семетричних функцій коренів і сформулювати основну теорему алгебри в загальному вигляді про кількість коренів рівняння залежно від його степення. Жірар запропонував остаточне виведення загальної формули длярозвязання квадратичного рівняння i ax²+bx+c=0.

24. Рене Декарт та його праці. У 1637 побачила у світ головна математична праця Декарта, «Міркування про метод» (повна назва: «Міркування про метод, що дозволяє направляти свій розум і відшукувати істину в науках»).

У цій книзі викладалася аналітична геометрія, а в додатках — численні результати в алгебрі, геометрії, оптиці (у тому числі — правильне формулювання закону заломлення світла) і багато чого іншого.

Особливо слід відзначити перероблену Декартом математичну символіку Вієта, з цього моменту близьку до сучасної. Коефіцієнти він позначав a, b, c ..., а невідомі — x, y, z. Натуральний показник степеня прийняв сучасний вигляд (дробові і негативні утвердилися завдяки Ньютону). З'явилася риска над підкореневим виразом. Рівняння приводяться до канонічної форми (у правій частині — нуль).

Символічну алгебру Декарт називав «Загальною математикою», і писав, що вона повинна пояснити «все що відноситься до порядку і міри».

Створення аналітичної геометрії дозволило перевести дослідження геометричних властивостей кривих і тіл на алгебраїчну мову, тобто аналізувати рівняння кривої в деякій системі координат. Цей переклад мав той недолік, що тепер треба було акуратно визначати справжні геометричні властивості, які не залежать від системи координат (інваріанти). Однак і переваги нового методу були винятково великі, і Декарт продемонстрував їх у тій же книзі, відкривши безліч положень, невідомих древнім і сучасним йому математикам.

У додатку «Геометрія» були дані методи розв'язання алгебраїчних рівнянь (у тому числі геометричні та механічні), класифікація алгебраїчних кривих. Новий спосіб завдання кривої — за допомогою рівняння — був вирішальним кроком до поняття функції. Декарт формулює точне «правило знаків» для визначення числа додатних коренів рівняння, хоча і не доводить його.

Декарт досліджував алгебраїчні функції (многочлени), а також ряд «механічних» (спіралі, циклоїди). Для трансцендентних функцій, на думку Декарта, загального методу дослідження не існує.

Комплексні числа ще не розглядалися Декартом на рівних правах з дійсними, однак він сформулював (хоча і не довів) основну теорему алгебри: загальна кількість дійсних і комплексних коренів алгебраїчного рівняння дорівнює його степеню. Від'ємні корені Декарт за традицією іменував помилковими, проте об'єднував їх з додатними терміном дійсні числа, відокремлюючи від уявних (комплексних). Цей термін увійшов у математику. Втім, Декарт виявив деяку непослідовність: коефіцієнти a, b, c ... у нього вважалися додатніми, а випадок невідомого знака спеціально відзначався трьома крапками ліворуч.

Всі невід'ємні дійсні числа, не виключаючи ірраціональних, розглядаються Декартом як рівноправні; вони визначаються як відношення довжини деякого відрізка до еталону довжини. Пізніше аналогічне визначення числа взяли Ньютон і Ейлер. Декарт поки ще не відокремлює алгебру від геометрії, хоча і змінює їхні пріоритети; розв'язок рівняння він розуміє як побудову відрізка з довжиною, рівною кореню рівняння. Цей анахронізм був незабаром відкинутий його учнями, передусім — англійськими, для яких геометричні побудови — чисто допоміжний прийом.

Книга «Метод» відразу зробила Декарта визнаним авторитетом в математиці і оптиці. Примітно, що видана вона була французькою, а не латиною. Додаток «Геометрія» було, проте, тут же переведено на латинську і неодноразово видавався окремо, розростаючись від коментарів і ставши настільною книгою європейських учених. Праці математиків другої половини XVII століття відображають сильний вплив Декарта.

25. П'єр де Ферма (17 серпня 1601 - 12 січня 1665) - французьку математик, один з творців аналітичної геометрії, математичного аналізу, теорії ймовірностей та теорії чисел. За професією юрист, з 1631 - радник парламенту в Тулузі. Блискучий поліглот. Найбільш відомий формулюванням Великої теореми Ферма.

Одній з перших математичних робіт Ферма було відновлення двох загублених книг Аполлонія "Про плоскі фігури". Методи, якими користувався Аполлоній, ми б зараз віднесли до аналітичної і проектної геометрії. Проте за часів Аполлонія не було ще буквеної алгебри, тому він записував формули алгебри і рівняння кривих геометрично, за допомогою так званої геометричної алгебри.

Основна відмінність сучасних методів аналітичної геометрії, від методів Аполонія полягає в застосуванні буквеної алгебри. І перший, хто зрозумів, як слід застосовувати нову алгебру до завдань геометрії, був Пьер Ферма. У 1636 році з'явився в рукописі його твір "Введення у вивчення плоских і просторових фігур", в якому послідовно будується аналітична геометрія на площині, причому під "плоскими фігурами" Ферма, наслідуючи древніх математиків, розумів прямі і кола; під "просторовими фігурами " - конічні перерізи.

Ще при відновленні книг Аполлонія, Ферма оцінив переваги методу координат і зрозумів, що рівняння з одним невідомим цілком визначає деяку величину, рівняння з двома невідомими - геометричне місце на площині (криву), рівняння з трьома невідомими - безліч точок в просторі (поверхня). Своє "Введення" Ферма починає з вибору як осі координат двох прямих, що перетинають один одного під деяким певним кутом (не обов'язково прямим). Потім, в протилежність Аполлонію, він виходить не з геометричного образу, а з рівняння. По суті, він показує, що будь-яке рівняння першого ступеня між координатами представляє пряму лінію, а рівняння другого степеня- деякий конічний переріз, причому відмічає умову, при якій відповідне геометричне місце буде колом. Для приведення рівняння другого степеня до одного з канонічних видів, Ферма застосовує перетворення координат.

Свої праці викладав Ферма строго послідовно.

Роком пізніше вийшов у світ твір Декарта "Судження про метод", остання частина якого "Геометрія" була також присвячена аналітичній геометрії. Цей твір затьмарив "Введення" Ферма, хоча з чисто математичної точки зору воно було написане менш систематично. Річ у тому, що Декарт створив нове зручніше буквенне числення, яким ми користуємося з незначними змінами і зараз, тоді як Ферма застосовував швидко застарілу алгебру Вієта. Крім того, Декарт представив нову алгебру разом з координатним методом як "універсальну математику", загальний метод для вирішення усіх завдань. Така "реклама" сприяла популярності його твору.