13. Аль Хорезмі

Твір Аль Хорезмі про арифметику зіграв надзвичайно важливу роль в історії математики. І хоча його справжній арабський текст загублений, зміст відомий у латинському перекладі 12 ст., єдиний рукопис якого зберігається в Кембріджі. У цьому творі вперше даний систематичний виклад арифметики, заснованої на десятковій позиційній системі числення. Переклад починається словами «Dixit Algorizmi» (сказав Алгорізмі). У латинській транскрипції ім'я Аль-Хорезмі звучало як Algorizmi або Algorizmus, а оскільки твір про арифметику був дуже популярний в Європі, ім'я автора стало прозивним — середньовічні європейські математики так називали арифметику, засновану на десятковій позиційній системі числення. Пізніше так називали всяку систему обчислень за певним правилом, тепер термін «алгоритм» означає послідовність вказівок, що задає процес обчислень, що починається з довільних початкових даних і направлений на отримання результату, який повністю визначається цими початковими даними.

Книга алгебри Аль-Хорезмі (Китаб мухтасаб ал-джабр і ва-л-мукабала) складається з двох частин — теоретичної (теорія рішення лінійних і квадратних рівнянь, деякі питання геометрії) і практичної (застосування методів алгебри в рішенні господарський-побутових, торгових і юридичних завдань — ділення спадку, складання заповітів, розділ майна, різні операції, вимірювання земель, будівництво каналів). Слово ал-джабр (заповнення) означало перенесення негативного члена з однієї частини рівняння в іншу, і саме з цього терміну виникло сучасне слово «алгебра». Ал-мукабала (зіставлення) — скорочення рівних членів в обох частинах рівняння. Успадковане від східних математиків вчення про лінійні і квадратні рівняння стало основою розвитку алгебри в Європі.

Після введення натуральних чисел, аль-Хорезмі звертає основну увагу в першій частині книги на рішення рівнянь. Розглядаючи лінійні і квадрадні рівняння він використовує поняття числа, кореня x та квадрату x2. У нижченаведеному прикладі використовуються сучасні позначення, щоб допомогти читачу зрозуміти основні ідеї, слід зауважити, що у своїх роботах аль-Хорезмі не використовував жодних символів, лише слова.

Латинський переклад сторінки, яка починається зі слів Діксіт алгоритми

Спочатку потрібно звести рівняння до однієї з шести нормальних форм:

Квадрати рівні кореням (ax2 = bx).

Квадрати рівні числу (ax2 = c).

Корені дорівнюють числу (bx = c).

Квадрати і корені рівні числу (ax2 + bx = c)

Квадрати і числа, рівні кореню (ax2 + c = bx)

Корені і числа, рівні квадрату (bx + c = ax2)

Геометрична частина трактату присвячена, в основному, вимірюванню площ і об'ємів геометричних фігур (трикутник, квадрат, ромб, паралелограм, званий ромбоїдом, коло, сегмент кола, чотирикутник з різними сторонами і кутами, паралелепіпед, круговий циліндр, призма, конус).

16. Перші університети Європи

До ХІ ст. основна наукова спадщина знаходились в руках представників релігійних каст і освіту молодь отримувала в монастирських школах.

В західній Європі 1088р. ств. перший університет-Болонський: об’єднує в собі основних представників просвітництва в Італії.

На поч. 13 ст. він нараховує біля 10 тис. студентів. Значна кількість лекцій були публічними і проводились на площах. Панувала демократія між студентами і викладачами. В університетах ств. організовані бібліотеки. Відкрилися: Паризький. Оксфордський, Кембрідзький в Італії Флоренції. Пізніше в східній Європі,Празі, Кракові,Відні,Женеві,Кельні.

На 1500р. у Європі нараховується біля 80 тис. університетів.

Після чіткого визначення класичні університети обов’язково в своєму складі повинні були містити такі факультети: богословський, філософський, гуманітарний, медичний.

Основним методом викладання є лекції та прилюдні диспоти та дискусії, які тривали до 20 год. Обовязковою умовою для проведення диспутів було наведення цитат та витягів з висловлень автора.

В кожному університеті повинен бути присутній підготовчий факультет, навчання на ньому 5-7р. За змістом та завданням його можна прирівняти до коледжу його наз. мистецький. Вивчали 7-8 наук або мистецтв. Далі вибирався напрямок з терміном навч. 5-6 р. і після закінчення можна було отримати ступінь магістра.

17. Математика європейського середньовіччя. леонардо фібоначчі та його книга про абак. Розвиток науки припинився. Потреба в математиці обмежується арифметикою і розрахунком календаря церковних свят, причому арифметика вивчається по древньому підручнику. Нікомаха Геразського в скороченому перекладі Боеція на латинський.

Серед небагатьох високоосвічених людей можна відзначити ірландця Біду Високоповажного (він займався календарем, пасхалії, хронології, теорією рахунку на пальцях) і ченця Герберта, з 999 року - римського папи під ім'ям Сильвестр II, покровителя наук, йому приписують авторство декількох праць з астрономії та математики. Стабілізація і відновлення європейської культури починаються з XI століття. Розширюється викладання математики: в традиційний квадривіум входили арифметика, геометрія, астрономія і музика. Перше знайомство європейських вчених з античними відкриттями відбувалося в Іспанії. У XII столітті там переводяться (з грецької й арабської на латинську) основні праці великих греків і їх ісламських учнів. З XIV століття головним місцем наукового обміну стає Візантія. Особливо охоче перекладалися й видавалися «Начала» Евкліда; поступово вони обростали коментарями місцевих геометрів.

В кінці XII століття на базі декількох монастирських шкіл був створений Паризький університет, де навчалися тисячі студентів з усіх кінців Європи; майже одночасно виникають Оксфорд і Кембридж у Великобританії. Інтерес до науки росте, і один із проявів цього - зміна числової сістемі.Довгій час в Європі застосовувалися римські цифри. У XII-XIII століттях публікуються перші в Європі викладу десяткової позиційної системи запису (спочатку переклади ал-Хорезмі, потім власне керівництво), і починається її застосування. З XIV століття індо-арабські цифри починають витісняти римські навіть на могильних плитах. Тільки в астрономії ще довго застосовувалася Шістдесяткова вавилонська арифметика.

Сторінка «Книги абака». Першим великим математиком середньовічної Європи став в XIII столітті Леонардо Пізанський, відомий під прізвиськом Фібоначчі. Основна його праця «Книга абака» (1202 рік, друге перероблене видання - 1228 рік). Абаком Леонардо називав арифметичні обчислення. Фібоначчі був добре знайомий (по арабських перекладах) з досягненнями древніх і систематизував значну їх частину в своїй кнізі.Його виклад по повноті і глибині відразу стало вище всіх античні та ісламські прототипи, і довгий час було неперевершеним. Ця книга справила величезний вплив на поширення математичних знань, популярність індійських цифр і десяткової системи в Європі.

У книгах «Арифметика» і «Про даних числа» Йордану Неморарія вбачаються зачатки символічної алгебри, до пори до часу не відокремилась від геометрії. В цей же час Роберт Гроссетест і Роджер Бекон закликають до створення експериментальної науки, на математичній мові зможе описати природні явища. У XIV столітті університети з'являються майже у всіх великих країнах (Прага, Краків, Відень, Гейдельберг, Лейпциг, Базель і ін.). Філософи з Оксфордського Мертон-коледжу, що жили в XIV столітті і входили в групу так званих оксфордських калькуляторів, розвивали логіко-математичне вчення про посилення і ослабленні якостей. Інший варіант цього ж вчення розвивав у Сорбонні Микола Орем. Він ввів зображення залежності за допомогою графіка, досліджував збіжність рядів. У роботах алгебри він розглядав дробові показники ступеня.

Видний німецький математик і астроном XV століття Йоганн Мюллер став широко відомий під ім'ям Региомонтан - латинізоване назвою його рідного міста Кенігсберг [3]. Він надрукував першу в Європі праця, спеціально присвячену тригонометрії. У порівнянні з арабськими джерелами нового трохи, але треба особливо відзначити систематичність і повноту викладу.

Лука Пачолі, найбільший алгебріст XV століття, друг Леонардо да Вінчі, дав ясний (хоча не дуже зручний) нарис символіки алгебри.

18. Йордан Неморарій-Математик XIII століття. Трактат Йордану Неморарія "Про елементи арифметичного мистецтва". Чудовою особливістю цього твору є постійне вживання в ньому літер для позначення чисел. У трактаті "Пояснення алгоритму" розглядається рахунок в різних системах: словесне числення за десятковою системою з поділом чисел на пальцеві від 1 до 9 і на суглобові різних порядків (десятки, сотні, тисячі і т. д.); індійський письмовий рахунок; дії над цілими числами; дробу звичайні і шестидесятеричной і дії над ними; нарешті, дії з пропорціями.

Трактат "Про дані числах" містить 115 завдань. Зміст завдань I книги може бути представлено у формі пропозиції: якщо дані два квадратних рівняння з двома невідомими, то дані і самі невідомі. II книга присвячена певним завданням першого ступеня, що вирішуються або за допомогою пропорцій, або за правилом простого помилкового положення. III книга займається завданнями з багатьма невідомими, вирішити з допомогою пропорцій і добування квадратного кореня. У IV книзі розглядаються квадратні рівняння з одним та двома невідомими і найпростіше кубічне рівняння x ³ = a .

Йордану належить геометричний трактат "Про трикутниках" (De triangulis). I книга містить у собі різні пропозиції з трикутнику, а на початку деякі визначення. II книга займається завданнями розподілу відрізків прямої лінії і прямолінійних фігур. III книга розглядає коло, а VI книга - вписані і описані многокутники, серед завдань IV книги знаходяться також завдання квадратури кола і трисекции кута.

Томас Брадвардін  - філософ і математик, старший представник групиoксфордскіх калькуляторів з Мертон-коледжу, членом якого він був з 1323. В 1349 був обраний архієпископом Кентерберійським і в цьому ж році помер від чуми. Помітний інтерес представляє трактат Брадвардіна "Про теоретичної геометрії" У першому відділі Брадвардін розглядає зірчасті багатокутники, одержувані з правильних опуклих багатокутників шляхом продовження їх сторін до перетину (починаючи з п'ятикутника). У другому відділі Брадвардін займається изопериметрическими властивостями багатокутників, кола і кулі, слідуючи анонімному арабському перекладу Зенодор. Третій відділ трактату присвячений вченню про пропорції. У четвертому відділі обговорюється теорема про існування тільки п'яти правильних багатогранників і розглядається питання про заповнення простору правильними тілами. У трактаті "Про пропорції швидкостей при русі"  Брадвардін сформулював гіпотетичний закон, що зв'язує швидкість руху тіла, рушійну силу та опір середовища. Згідно з цим законом, ставлення рушійної сили до опору середовища пов'язане зі швидкістю тіла показовою залежністю."Трактат про континуумі"присвячений вченню про безперервне і дискретно, який лежить на кордоні між фізикою, математикою і філософією. Брадвардін дотримується поглядів Аристотеля на нескінченну подільність континууму і критикує атомістичну концепцію континууму, виводячи з неї різноманітні суперечливі слідства. Брадвардіну належать також трактати "Про теоретичної арифметики"  "Про квадратуру кола,"Мистецтво пам'яті"