Джордж Буль і його незвичайна алгебра

БУЛЬ (Boole), Джордж 2 листопада 1815 - 8 грудня 1864

Сьогодні ідеї Буля використовуються у всіх сучасних цифрових пристроях.

Він народився в сім'ї робітника. Перші уроки математики отримав у батька. Хоча хлопчик відвідував місцеву школу, його можна вважати самоучкою. У 12 років знав латину, потім опанував грецькою, французькою, німецькою та італійською мовами. У 16 років вже викладав у сільській школі, а в 20 відкрив власну школу в Лінкольні. У рідкісні години дозвілля зачитувався математичними журналами Механічного інституту, цікавився роботами математиків минулого - Ньютона, Лапласа, Лагранжа, проблемами сучасної алгебри.

Починаючи з 1839 року Буль став надсилати свої роботи в новий Кембриджський математичний журнал. Його перша робота «Дослідження з теорії аналітичних перетворень» стосувалася диференціальних рівнянь, алгебраїчних проблем лінійної трансформації та концепції інваріантності. У своєму дослідженні 1844 року, опублікованому в «Філософські праці Королівського товариства», він торкнувся проблеми взаємодії алгебри та обчислення. У тому ж році молодий вчений був нагороджений медаллю Королівського товариства за внесок у математичний аналіз.

Незабаром після того як Буль переконався, що його алгебра цілком застосовна до логіки, в 1847 році він опублікував памфлет «Математичний аналіз логіки», в якому висловив ідею, що логіка більш близька до математики, ніж до філософії. Ця робота була надзвичайно високо оцінена англійським математиком Огастес (Августустом) Де Морганом. Завдяки цій роботі Буль в 1849 році отримав посаду професора математики Куїнз-коледжу в графстві Корк, незважаючи на те, що він навіть не мав університетської освіти.

У 1854 році опублікував роботу «Дослідження законів мислення, що базуються на математичній логіці і теорії ймовірностей». Роботи 1847 і 1854 років поклали початок алгебрі логіки, або булевої алгебри. Буль першим показав, що існує аналогія між алгебраїчними і логічними діями, так як і ті, й інші припускають лише два варіанти відповідей - істина чи брехня, нуль або одиниця. Він придумав систему позначень і правил, користуючись якими можна було закодувати будь-які висловлювання, а потім маніпулювати ними як звичайними числами. Булева алгебра мала у своєму розпорядженні трьома основними операціями - І, АБО, НЕ, які дозволяли виробляти додавання, віднімання, множення, ділення і порівняння символів і чисел. Таким чином, Булю вдалося детально описати двійкову систему числення. У своїй роботі «Закони мислення» (1854 р.) Буль остаточно сформулював основи математичної логіки. Він також спробував сформулювати загальний метод ймовірностей, за допомогою якого із заданої системи ймовірних подій можна було б визначити вірогідність подальшого події, логічно пов'язаного з ними.

У 1857 році Буль був обраний членом Лондонського Королівського товариства. Його роботи «Трактат про диференціальних рівняннях» (1859 р.) і «Трактат про обчислення граничних різниць» (1860 р.) зробили колосальний вплив на розвиток математики. У них знайшли своє відображення найбільш важливі відкриття Буля. http://www.prosv-ipk.ru/ @ @ 131819 улевой алгеброю називається непорожня безліч A з двома бінарними операціями ^ (аналог кон'юнкції), V (аналог диз'юнкції), унарний операцією - (аналог заперечення) і двома виділеними елементами: 0 (або Брехня) і 1 (або Істина) такими, що для всіх a, b і c з безлічі A вірні наступні аксіоми: av (bVc) = (aVb) vc a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c асоціативність aVb = bVa a ^ b = b ^ a комутативність av (a ^ b) = aa ^ (aVb) = a закони поглинання aV (b ^ c) = (aVb) ^ (aVc) a ^ (bVc) = ( a ^ b) V (a ^ c) дистрибутивність aV-a = 1 a ^-a = 0 додатковість Булевой алгеброю називається довільне безліч елементів a, b, c, ..., для яких визначені дві операції - додавання і множення, що зіставляють кожним двом елементам a і b їх суму a + b і твір ab; визначена операція «заперечення», що зіставляє кожному елементу a новий елемент (-a); маються два «особливих» елементів 0 і 1 і виконуються наступні правила:

• комутативність закони: a + b = b + a; ab = ba

• асоціативні закони: (a + b) + c = a + (b + c); (ab) c = a (bc)

• ідемпотентние закони: a + a = a; aa = a

• дистрибутивні закони: (a + b) c = ac + bc; ab + c = (a + c) (b + c)

• заперечення заперечення: (- (-a)) = a

• для 0: a + 0 = a; a 0 = 0; (-0) = 1

• для 1: a + 1 = 1; a 1 = a; (-1) = 0

• правила де Моргана: (- (a + b)) = (-a) (-b); (- (ab)) = (-a) + (-b)

Зауваження 1. Для визначення алгебри Буля можна обійтися лише однією з операцією додавання або множення разом з операцією заперечення, наприклад, множення можна визначити: ab = (- ((-a) + (-b))) (через правила де Моргана).

Зауваження 2. Це визначення «неекономно». Багато властивості можуть бути виведені з інших, але ця система несуперечлива і зручна для дослідження.

4.3. Арифметичні моделі булевих операцій

Відомому німецькому математику і логіку Ернесту Шредеру прийшло в голову запропонувати в якості знака для позначення помилкового судження цифру О, що, звичайно, призвело до позначення істини цифрою 1. Тоді таблиця істинності набуває якийсь арифметичний вигляд:

Перші три аксіоми означають, що (A, \ land, \ lor) є решіткою. Таким чином, булева алгебра може бути визначена як дистрибутивна решітка, в якій виконані дві останні аксіоми. Структура, в якій виконуються всі аксіоми, крім передостанньої, називається псевдобулевой алгеброю.