34.Розвиток алгебри в роботах Гауса,Ейлера, Лагранжа

Ейлер залишив важливі праці по різним галузям математики , механіки, фізики та інш прикладних наук. Одна з основних заслуг Ейлера перед наукою – монографія «Вступ в аналіз нескінченно малих». Основа натур логарифмів була відома ще з часів Непера і Бернуллі. Однак Ейлер дав досить глибоке дослідження цієї константи, що з тих пір вона носить його ім’я. Ейлер значно доповнив теорію рядів і поширив її на комплексну область, вперше просумував ряди. Завдяки ньому була сформована повна теорія неперервних дробів, аналітичний фундамент механіки, методи інтегрування і розв’язування диф. рівнянь, число е, позначення «і» для уявної одиниці.

Жозеф Луї Лагранж відомий франц математик і механік. Йому вдалось успішно розробити багато важливих питань матем аналізу. Лгранж вніс великий вклад в різні області матем, включаючи варіаційне числення, теорію диф. р-нь, розв’язування задач на знаходження максимуму і мінімуму, терію чисел (теорема Лагранжа), алгебру і теорію ймовірностей. Відкрив правила знаходження похідних . які ґрунтуються виключно на алгебраїчних діях із степеневими рядами. За допомогою свого методу він знайшов похідні від функцій x^m, ax,loga^x, sinx, cosx.

В алгебрі Ґауса цікавила насамперед основна теорема. До неї він не раз повертався і дав понад шість різних її доведень. Усі вони були опубліковані в працях ученого у 1808—1817. У цих працях були дані вказівки відносно кубічних і біквадратичних лишків. Теореми про біквадратичні лишки розглядаються в працях 1825—1831. Ці праці значно розширили теорію чисел завдяки введенню так званих цілих Ґаусових чисел, тобто чисел виду а + bi, де а і b — цілі числа. У зв'язку з астрономічними обчисленнями, що ґрунтуються на розкладанні інтегралів відповідних диференціальних рівнянь у нескінченні ряди. Ґаус дослідив питання про збіжність нескінченних рядів, які він пов'язав з вивченням т. зв. гіпергеометричного ряду («Про гіпергеометричний ряд», 1812). Головне значення цього ряду полягає в тому, що він містить як окремі випадки багато з відомих трансцендентних функцій, що мають широке застосування.

35. Г.Крамер та його метод розвязування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

«Вступ до аналізу алгебраїчних кривих» — найвідоміша з робіт Крамера. У ньому вперше доводиться, що алгебраїчна крива n-го порядку в загальному випадку цілком визначена, якщо задані її n (n + 3) / 2 точок. Для доказу Крамер будує систему лінійних рівнянь і вирішує її за допомогою алгоритму, названого пізніше його ім'ям: метод Крамера.

Крамер розглянув систему довільної кількості лінійних рівнянь з квадратною матрицею. Рішення системи він представив у вигляді стовпця дробів із спільним знаменником — визначником матриці. Крамер дав точний алгоритм його обчислення: алгебраїчна сума всіляких творів елементів матриці, по одному з кожного рядка і кожного стовпця.

Крамер провів класифікацію алгебраїчних кривих до п'ятого порядку включно.

Правило Крамера якщо основний визначник  неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами  (1) де  – допоміжний визначник, який одержується з основного визначника  – шляхом заміни його k-го стовпця стовпцем вільних членів системи. Отже: Якщо  , то система матиме єдиний розв’язок (1). Якщо  , то система або невизначена, або несумісна(система буде несумісною – не матиме жодного розв’язку, якщо хоча б один з  ) . Якщо ж  і  , то система матиме безліч розв’язків. Перед розв’язком даних систем лінійних рівнянь потрібно перевірити необхідні умови застосування методу Крамера: 1. Кількість рівнянь системи дорівнює кількості невідомих. 2. Визначних основної матриці системи не дорівнює нулю

36. Джордж Буль (англ. George Boole; 2 ноября 1815, Линкольн — 8 декабря 1864, Баллинтемпл, графство Корк, Ирландия) — английский математик и логік. Профессор математики Королевского колледжа Корка (ныне Университетский колледж Корк) с 1849. Один из предтеч математической логики.Содержание

Биография

Джордж Буль народився і виріс в сім'ї небагатого ремісника Джона Буля, захопленого наукою. Батько, цікавлячись математикою і логікою, дав перші уроки своєму синові, але той не зумів виявити рано свої видатні таланти в точних науках, і його першим захопленням стали класичні автори.

Лише до сімнадцяти років Буль дійшов до вищої математики, просуваючись повільно через відсутність дієвої допомоги.

З шістнадцяти років Буль почав працювати помічником вчителя в приватній школі в Донкастері і, так чи інакше, продовжував викладання на різних посадах протягом всього життя. Він був одружений (з 1855 р.) на Мері Еверест (з. Еверест-Буль), племінниці знаменитого географа Джорджа Евересту, також займалася наукою і викладати, а після смерті чоловіка багато сил приділила популяризації його внеску в логіку.

Чотири їх дочки здобули популярність як вчені (геометр Алісія, хімік Люсі), або члени вчених сімей (Мері, дружина математика й письменника Ч. Г. Хінтона, і Маргарет, мати математика Дж. І. Тейлора), а п'ята - Етель Ліліан Войнич - прославилася як письменник.

Буль помер на п'ятдесятому році життя від запалення легенів.

Наукова діяльність

Публіці Буль був відомий в основному як автор ряду важких для розуміння статей на математичні теми і трьох або чотирьох монографій, стали класичними.

Публікація першої статті («Теорія математичних перетворень», 1839) привела до дружби між Булем і Д. Ф. Грегорі (редактором «Кембриджського математичного журналу», де стаття була опублікована), що тривала до самої смерті останнього в 1844 р. У цей журнал і наследовавший йому «Кембриджський і дублінський математичний журнал» Буль представив двадцять дві статті.

Шістнадцять його статей були опубліковані в «Філософському журналі» (Philosophical Magazine), шість мемуарів - в «Філософські праці» (Philosophical Transactions), ряд інших - у «Працях Королівського товариства Единбурга і Королівської Ірландської академії» (Transactions of the Royal Society of Edinburgh and of the Royal Irish Academy), у «Віснику С.-Петербурзької академії» (Bulletin de l'Académie de St-Pétersbourg, під псевдонімом G. Boldt, Vol. IV. pp. 198-215) та в журналі Крелля (Journal für die reine und angewandte Mathematik).

Цей список доповнює публікація 1848 року в «Журналі механіка» (Mechanic's Magazine) про математичних засадах логіки.

Всього Булем було опубліковано близько п'ятдесяти статей в різних виданнях і кілька монографій.

Математична логіка

Буль був, ймовірно, першим після Джона Валліса математиком, що звернулися до логічної проблематики. Ідеї ​​застосування символічного методу до логіки вперше висловлені ним у статті «Математичний аналіз логіки» (1847). Незадоволений отриманими в ній результатами, Буль висловлював побажання, щоб про його погляди судили по обширному трактату «Дослідження законів мислення, на яких грунтуються математичні теорії логіки і ймовірностей» (1854). Буль не вважав логіку розділом математики, але знаходив глибоку аналогію між символічним методом алгебри і символічним методом представлення логічних форм і силогізмів. Одиницею Буль позначав універсум мислимих об'єктів, літерними символами - вибірки з нього, пов'язані зі звичайними прикметниками і іменниками (так, якщо x = "рогаті", а y = "вівці", послідовний вибір x і y з одиниці дасть клас рогатих овець). Буль показав, що символіка такого роду підкоряється тим же законам, що й алгебраїчна, з чого випливало, що їх можна складати, віднімати, множити і навіть ділити. У такій символіці висловлювання можуть бути зведені до форми рівнянь, а висновок з двох посилок силогізму - отримано шляхом виключення середнього терміна за звичайними алгебраїчним правилам. Ще більш оригінальною і примітною була частина його системи, представленої в «Законах мислення ...», утворює загальний символічний метод логічного висновку. Буль показав, як з будь-якого числа висловлювань, що включають будь-яке число термінів, вивести будь-який висновок, що випливає з цих висловлювань, шляхом чисто символічних маніпуляцій. Друга частина «Законів мислення ...» містить аналогічну спробу виявити загальний метод в обчисленні ймовірностей, що дозволяє із заданих ймовірностей сукупності подій визначити ймовірність будь-якого іншого події, логічно пов'язаного з ними. Професор Огірко, Ігор на основі теорії Буля створив теорію відносності в логіці.

Математичний аналіз

На математичні теми Булем протягом життя були створені два систематичних трактату: «Трактат про диференціальних рівняннях» (1859; друге видання не завершене, матеріали до нього опубліковані посмертно в 1865) і задуманий як його продовження «Трактат про кінцевих різницях» (1860). Ці праці зробили важливий внесок у відповідні розділи математики і в той же час продемонстрували глибоке розуміння Булем філософії свого предмета.

Інші праці

Хоча за винятком математичних та логічних робіт Буль публікувався мало, його праці виявляють широке і глибоке знайомство з літературою. Його улюбленим поетом був Данте, причому «Рай» подобався йому більше, ніж «Пекло».

Постійними предметами вивчення були для Буля метафізика Арістотеля, етика Спінози, філософські праці Цицерона і безліч подібних робіт. Роздуми про наукових, філософських та релігійних питаннях містяться в чотирьох промовах - «Геній сера Ісаака Ньютона», «Гідне користування дозвіллям», «Домагання науки» та «Соціальний аспект інтелектуальної культури» - виголошених і опублікованих ним у різний час.

Основні твори

«Математичний аналіз логіки» (1847);

«Логічне числення» (1848);

«Дослідження законів мислення» (1854).