
- •Проблеми історії математики та інформатики.
- •Періодизація історії розвитку математики.
- •3. Елементи математичних знань в доісторичні часи
- •4. Математика Стародавнього Єгипту
- •5.Математика Дворіччя.
- •6. Індійська математика
- •10. Геометрична алгебра та перші нерозв’язні задачі
- •12. Арабська алгебра і розвиток поняття про число
- •Аль Хорезмі
- •16. Перші університети Європи
- •19.Епоха Відродження. Лука Пачолі і його твір “Сума знань з арифметики, геометрії, відношенням і пропорційності”
- •20. Дослідження д. Кардано, н. Тарталья, л. Феррарі.
- •21. «Вступ до мистецтва аналізу» Франсуа Вієта.
- •22. Особливості математики в 17 столітті
- •23. Нові відкриття в алгебрі Жерара
- •26. Основи інтеграційних методів Кеплера.
- •31. Винайдення логарифмів. Таблиці Непера.
- •32. Роботи братів Бернуллі.
- •33. Основні напрямки математики 19 ст.
- •34.Розвиток алгебри в роботах Гауса,Ейлера, Лагранжа
- •35. Г.Крамер та його метод розвязування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Джордж Буль і його незвичайна алгебра
- •37. Геометрія Лобачевського.
- •38. Пфейффер
- •39. Досягнення математики у Київському університеті
- •40. Харківський університет
- •Одеський (Новоросійський) університет.
- •42. Роботи з математики та обчислювальної техніки п.Л. Чебишева
- •43. Створення ліній зв’язку. Азбука Морзе.
- •44. Арифметичний інструмент Лейбніца
- •45. Перші обчислювальні пристрої.
- •46. Перші арифметичні машини 17 ст. Роботи Блеза Паскаля
- •47. Аналітична машина Беббіджа.Перші програми Ади Лавлейс.
- •49. Машина Тюрінга
- •52. Створення першої еом eniac.
- •55. Машина логічного мислення Щукарьова.
- •56. Першовiдкривач p-n переходу в.Є.Лашкарьов
- •Узагальнення
- •59. Роботи Катерини Ющенко
26. Основи інтеграційних методів Кеплера.
Обчислення секторіальних площ вимагало наявності вмінь користуватись нескінченно малими величинами, які вперше в практичній постановці запроваджено Й. Кеплером (мал. 1).
мал1.
Сутність методу Й. Кеплера полягає ось у чому. Щоб обчислити невідому площу (або об'єм), її розбивають на нескінченну множину нескінченно малих елементів однієї з нею розмірності, з цих елементів відповідною комбінацією утворюють нову площу (або об'єм), числове значення яких вміють обчислювати. Наприклад, коло складається з нескінченно великого числа нескінченно малих секторів, кожний з яких можна розглядати як рівнобедрений трикутник. Усі трикутники мають однакову висоту (радіус кола), а сума їх основ дорівнює довжині кола (мал. 2), Якщо в точці А провести до кола відрізок АВ дотичної довжини 2 π R, то сектори кола відкладуться в рівновеликі трикутники з тією самою висотою і основою, сума площ яких дорівнює площі ∆AOВ, тобто
Свої інтеграційні методи Й. Кеплер запозичив з еврістичних міркувань Архімеда, але випускав етап доведення для більшої можливості маневрування методом, в результаті чого вони були не строгими і піддавались гострій критіці частиною математиків. Але перевага їх була в тому, що вони були новими, давали змогу розв'язати величезну кількість задач. Новизна і строгість рідко коли зживаються, особливо на ранніх етапах розвитку.
Мал. 2
27. Бонавентура Кавальєрі народився в 1958р. в Мілані, помер у Болоньї в 1947р. Сім'я Кавальєрі вважалася в Мілані старовинної і знатної, і молодий чоловік отримав прекрасну гуманітарну освіту, завдяки чому мав можливість читати в оригіналах античних математиків. З ранніх років родина Бонавентури призначала його до духовної кар'єри. У п'ятнадцятирічному віці він вступив до ордену іезуатов (не єзуїтів!). Патроном ордена вважався св. Ієронім. Близько 1616г. Кавальєрі переїхав до Пізи, в монастир свого ордену, де продовжував освіту. Його керівником був Бенедикт Кастеллі, математик і астроном, учень Галілея, який і запропонував юному Бонавентурі зайнятися геометрією. За короткий час Кавальєрі вивчив твори Архімеда, Аполлонія й інших античних авторів. Учитель познайомив Кавальєрі з Галілеєм, і той деякий час керував заняттями молодого математика. У 1619г. Кавальєрі подав заяву сенату Болоньї про своє бажання зайняти кафедру математики. Тут він назвав себе "професором математики і учнем синьйора Галілея". На цей раз конкурс закінчився не на користь Кавальєрі. Він повернувся в Мілан, а потім жив у Флоренції, Римі, Пармі. У Римі він познайомився з Джованні Чіамполі, любителем точних наук і шанувальником Галілея. Вони швидко подружилися і зберегли назавжди найкращі стосунки. Кавальєрі присвятив Чіамполі головну працю свого життя "Геометрія" (1635г.). У присвяті автор писав на честь Чіамполі: "Це відкриття ... хоча і незначно, але ново, тобі (присвячую) як чоловікові, перевершив математичні науки стільки ж, скільки і всі інші". У 1629г. Кавальєрі знову бере участь у конкурсі в Болоньї (кафедра астрономії). На цей раз його кандидатура потримати Галілеєм, Кастеллі, які підтверджували надзвичайно високе положення Кавальєрі серед математиків. У підсумку Кавальєрі зайняв кафедру. Він залишався на цій посаді до самої смерті. Папа Урбан IIX призначив його настоятелем монастиря, щоб забезпечити матеріально і надати можливість займатися наукою. Доля, здавалося б, дала Кавальєрі все, щоб зробити його життя щасливим: забезпечене почесне становище, прихильності "великих світу цього" (не тільки папа Урбан IIX, але слідували за ним папа Інокентій X не шкодували похвал своєму улюбленцю), можливість віддатися улюбленій справі ; любов і повагу друзів-людей, відомих у науці, нарешті, великі успіхи в обраній галузі математики та велика популярність. На жаль, він не був щасливий, його життя було безперервною боротьбою з хворобою. З юних років він страждав важкою формою подагри. З плином часу хвороба посилювалася. 30 листопада 1647г. черговий напад подагри призвів до трагічного кінця. На батьківщині Кавальєрі, в Мілані, йому поставлений пам'ятник. У своїй основній праці "Геометрія" (1635г.) Кавальєрі розвинув розроблений ним задовго до виходу книги новий метод визначення площ і об'ємів-так званий метод неподільних. Неподільними Кавальєрі називав паралельні між собою хорди. Найважливіша ознака неподільності полягає в тому, що число вимірів його на одиницю менше самого геометричного образу. У плоскої фігури 2 виміру, у її неподільного, тобто у відрізка-1 вимір. Кавальєрі довів теорему про те, що площі двох подібних фігур відносяться як квадрати, а обсяги-як куби відповідних неподільних, і встановив, що відношення суми квадратів всіх неподільних трикутника до суми квадратів всіх неподільних паралелограма, що має з трикутником однакові підстави і висоту, дорівнює 1 : 3. Згодом Кавальєрі знайшов аналогічні співвідношення для суми кубів і т.д. до дев'ятого ступеня неподільних. Праці Кавальєрі зіграли величезну роль у формуванні обчислення нескінченно малих.
Е. Торрічеллі (учень Г. Галілея і друг Б. Кавальєрі) поширив метод Кавальєрі на криволінійні неподільні. Свій метод неподільних відпрацював незалежно від Б. Кавальєрі і на алгебраїчній основі Жіль Робервал (1604-1675). Про свої неподільні він писав: "Можна вважати, що нескінченна множина точок приймається за нескінченну множину малих ліній і становить цілу лінію. Нескінченна множина ліній являє собою нескінченну множину малих площ, які складають всю площу. Нескінченна множина площ являє собою нескінченну множину малих тіл, які усі разом складають все тіло" ("Трактат про неподільні"). Це вже інше розуміння неподільних, ніж у Б. Кавальєрі, вони мають таку саму розмірність, як і утворена ними геометрична фігура, це крок до інтегральних сум.
28. Математики XVIII ст. працювали одночасно у області природознавства і техніки. Лагранж створив основи аналітичної механіки. Його праці показали, як багато результатів можна отримати в механіці завдяки потужним методам математичного аналізу. Монументальна праця Лапласа «Небесна механіка» підбила підсумки всіх попередніх робіт у цій області.
У цей часЭйлер увів у математику символ f(x) для функції і показав, що функціональна залежність є основним об'єктом вивчення математичного аналізу. Розроблялися способи обчислення частинних похідних, кратних і криволінійних інтегралів, диференціалів від функцій багатьох змінних.
У XVIII ст. з математичного аналізу виділилась низка дуже важливих математичних дисциплін: теорія диференційних рівнянь, варіаційне числення. Саме тоді почалася розробка теорії ймовірностей.
Ньютон зробив визначні відкриття; в галузі механіки, математики і астрономії. Усі найголовніші дослідження він провів у період перебування в Кембріджі. Одним з найвидатніших відкриттів Ньютона був метод обчислення нескінченно малих величин — «метод флюксій» (1665—1666 p.), остаточно оформлений і досконало викладений у вступі до трактату «Про квадратуру кривих» (видано лише в 1704 р. У цьому трактаті Ньютон пише, що він розглядає математичні кількості не як такі, що складаються з дуже малих сталих частин, а як такі, що утворюються неперервним рухом. Лінії описуються неперервним . рухом точок, поверхні — рухом ліній, об'єми — рухом поверхонь, кути — обертанням сторін і т. д. Він помітив залежність між швидкістю наростання «кількості» і «кількістю».
29. Готфрід Вільгельм Лейбніц — провідний німецький філософ, логік, фізик, математик, мовознавець та дипломат. Народився він 1 липня 1646-го року у Лейпцигу (Німеччина), помер 14 листопада 1716 року у Ганновері.
Саме Лейбніц передбачив принципи сучасної комбінаторики. Створив першу механічну лічильну машину, здатну виконувати додавання, віднімання, множення й ділення. Незалежно від Ньютона створив диференціальне й інтегральне числення і заклав основи двійкової системи числення.
У рукописах і листуванні, які було надруковано лише в середині XIX ст., Лейбніц розробив основи теорії детермінантів. Зробив вагомий внесок у логіку і філософію. Мав надзвичайно широке коло наукових кореспондентів. Багато з його ідей викладено в рукописах і листуванні, що ще й досі повністю не надруковані.
Біографія. У 1661-му році, у віці 14 років, Лейбніц вступив до Лейпцизького університету, де у 1663-му році отримав ступінь бакалавра, з дисертацією “De Principio Individui”, з якої бере початок його пізніша теорія монад.
Незважаючи на його неабияку на той час репутацію і визнання його праць, Лейбніцу було відмовлено у ступені доктора права в Лейпцигу, тому він негайно поїхав до Альтдорфа, де у лютому 1667 р. отримав цей ступінь за свою дисертацію “De Casibus Perplexis”. Йому була запропонована посада професора в Альтдорфі, але Лейбніц відмовився, обравши натомість кар’єру дипломата і юриста. У 1667-1672 роках перебував на службі Майнського курфюрста, барона Йоганна Кристіана фон Бойнебурґа, завдяки якому у 1672 р. він дістав змогу подорожувати до Парижа, де він залишатиметься до жовтня 1676 р., і до Лондона взимку 1673 р.
Під час цих подорожей Лейбніц познайомився з деякими найвидатнішими вченими і філософами того часу, зокрема Арно, Малебраншем і Гюйгенсом у Парижі, а також Гуком, Бойлем і Пеллем у Лондоні. Під час перебування у Парижі, Лейбніц розпочав дослідження з диференціального й інтегрального числення. Лейбніц надавав надзвичайну увагу питанням зручної наукової нотації, і в рукописі від 21 листопада 1675 р. він уперше використав нині загальновизнаний запис для інтегралу функції. З грудня 1676 р. до кінця свого життя Лейбніц обіймає посади надвірного бібліотекаря та канцлера у місті Ганновер.
Наукові досягнення. У 1671 р. Лейбніц надрукував мемуар “Hypothesis Physica Nova”, у якому намагався розробити абстрактну теорію руху. Слідом за Кеплером, стверджував, що рух залежить від дії духа.
Лейбніц шукає можливості для розширення наукових контактів. Він розпочинає листування з Ольденбургом, секретарем Лондонського наукового товариства. Восени 1672 р., з нагоди дипломатичної місії від Бойнебурга у Парижі, Лейбніц обізнається з Гюйгенсом і за його керівництвом розпочинає дослідження з теорії рядів і знаходить славетну формулу.
Під впливом Гюйгенса Лейбніц вивчає праці Паскаля, Грегорі та інших з інфінітезімальної геометрії, тобто питання дотичних до кривих, і виходить з ідеєю “функції”, в сучасній термінології — похідної, таким чином винаходячи центральну концепцію математичного аналізу.
Ньютон написав два листа до Лейбніца, в яких повідомив про свої дослідження з аналізу, але без викладання методів. У відповідь Лейбніц описав деякі зі своїх методів, щодо яких Ньютон зневажливо зауважив: “…не розв’язане жодне попередньо відкрите питання…”.
30. Еволюція поняття функції. Функція - одне з основних математичних і загальнонаукових понять. Воно зіграло й понині відіграє більшу роль у пізнанні реального миру.
Пропедевтичний період (з найдавніших часів до 17 століття).
Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2.
Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується.
Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни.
Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”).
В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п.
Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття).
Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”.
В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”.
Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.